Question

在平面直角坐标系xOy中，直线y=kx（k为常数）与抛物线交于A，B两点，且A点在y轴左侧，P点的坐标为（0，﹣4），连接PA，PB．有以下说法：

①PO²=PA•PB；

②当k＞0时，（PA+AO）（PB﹣BO）的值随k的增大而增大；

③当时，BP²=BO•BA；

④△PAB面积的最小值为．

其中正确的是      （写出所有正确说法的序号）

Answer

③④。

【解析】设A（m，km），B（n，kn），其中m＜0，n＞0．

联立得：=kx，即x2﹣3kx﹣6=0，∴m+n=3k，mn=﹣6。

设直线PA的解析式为y=ax+b，将P（0，﹣4），A（m，km）代入得：

，解得。∴直线PA的解析式为。

令y=0，得x=，∴直线PA与x轴的交点坐标为（，0）。

同理可得，直线PB的解析式为，直线PB与x轴交点坐标为（，0）。

∵，

∴直线PA、PA与x轴的交点关于y轴对称，即直线PA、PA关于y轴对称。

①说法①错误，理由如下：

如答图1所示，

∵PA、PB关于y轴对称，∴点A关于y轴的对称点A′落在PB上。

连接OA′，则OA=OA′，∠POA=∠POA′。

假设结论：PO2=PA•PB成立，即PO2=PA′•PB，∴。

又∵∠BOP=∠BOP，∴△POA′∽△PBO。

∴∠POA′=∠PBO。∴∠AOP=∠PBO。

而∠AOP是△PBO的外角，∴∠AOP＞∠PBO。矛盾。

∴说法①错误。

②说法②错误。理由如下：

易知：，∴。

由对称可知，PO为△APB的角平分线，

∴。∴。

∴（PA+AO）（PB﹣BO）=（PA+AO）[﹣（）]

=（PA+AO）（PA﹣OA）=（PA2﹣AO2）。

如答图2所示，过点A作AD⊥y轴于点D，则OD=﹣km，PD=4+km，

∴PA2﹣AO2=（PD2+AD2）﹣（OD2+AD2）

=PD2﹣OD2=（4+km）2﹣（﹣km）2=8km+16。

∵m+n=3k，∴k=（m+n）。

∴PA2﹣AO2=8•（m+n）•m+16=m2+mn+16=m2+×（﹣6）+16=m2。

∴（PA+AO）（PB﹣BO）=（PA2﹣AO2）=•m2=﹣mn=﹣×（﹣6）=16。

∴（PA+AO）（PB﹣BO）为定值，所以说法②错误。

③说法③正确，理由如下：

当时，联立方程组：，得A（，2），B（，﹣1），

∴BP2=12，BO•BA=2×6=12。∴BP2=BO•BA。故说法③正确。

④说法④正确，理由如下：

∵S△PAB=S△PAO+S△PBO=OP•（﹣m）+OP•n=OP•（n﹣m）=2（n﹣m），

∴当k=0时，△PAB面积有最小值，最小值为。故说法④正确。

综上所述，正确的说法是：③④。