Question

如图，A，B，C为⊙O上相邻的三个n等分点，，点E在上，EF为⊙O的直径，将⊙O沿EF折叠，使点A与A′重合，点B与B′重合，连接EB′，EC，EA′．设EB′=b，EC=c，EA′=p．现探究b，c，p三者的数量关系：发现当n=3时，p=b+c．请继续探究b，c，p三者的数量关系：当n=4时，p=      ；当n=12时，p=      ．

（参考数据：，）

Answer

c+b；c+b。

【解析】如图，连接AB、AC、BC，

由题意，点A、B、C为圆上的n等分点，

∴AB=BC，（度）。

在等腰△ABC中，过顶点B作BN⊥AC于点N，

则AC=2CN=2BC•cos∠ACB=2cos•BC，

∴。

连接AE、BE，在AE上取一点D，使ED=EC，连接CD，

∵∠ABC=∠CED，

∴△ABC与△CED为顶角相等的两个等腰三角形。

∴△ABC∽△CED。∴，∠ACB=∠DCE。

∵∠ACB=∠ACD+∠BCD，∠DCE=∠BCE+∠BCD，∴∠ACD=∠BCE。

在△ACD与△BCE中，∵，∠ACD=∠BCE，∴△ACD∽△BCE。

∴。∴。

∴EA=ED+DA=EC+。

由折叠性质可知，p=EA′=EA，b=EB′=EB，c=EC。

∴p=c+。

当n=4时，p=c+2cos45°•b=c+b；

当n=12时，p=c+2cos15°•b=c+b。