Question

如图，⊙O的半径r=25，四边形ABCD内接圆⊙O，AC⊥BD于点H，P为CA延长线上的一点，且∠PDA=∠ABD．

（1）试判断PD与⊙O的位置关系，并说明理由；

（2）若tan∠ADB=，PA=AH，求BD的长；

（3）在（2）的条件下，求四边形ABCD的面积．

Answer

【解析】
（1）PD与圆O相切。理由如下：

如图，连接DO并延长交圆于点E，连接AE，

∵DE是直径，∴∠DAE=90°。∴∠E+∠ADE=90°。

∵∠PDA=∠ABD=∠E，∴∠PDA+∠ADE=90°。

∴PD⊥DO。

∴PD与圆O相切于点D。

（2）∵tan∠ADB=，∴可设AH=3k，则DH=4k，

∵PA=AH，∴PA=（）k，

∴PH=k。

∴在Rt△PDH中，。∴∠P=30°，∠PDH=60°。

∵PD⊥DO，∴∠BDE=90°﹣∠PDH=30°。

连接BE，则∠DBE=90°，DE=2r=50，

∴BD=DE•cos30°=。

（3）由（2）知，BH=﹣4k，∴HC=（﹣4k）。

又∵PD2=PA×PC，∴。

解得：k=。

∴AC=3k+（﹣4k）=+7，

∴S四边形ABCD=BD•AC=××（+7）=900+。

【解析】（1）首先连接DO并延长交圆于点E，连接AE，由DE是直径，可得∠DAE的度数，又由∠PDA=∠ABD=∠E，可证得PD⊥DO，即可得PD与圆O相切于点D。

（2）由tan∠ADB=，可设AH=3k，则DH=4k，又由PA=AH，易求得∠P=30°，∠PDH=60°，连接BE，则∠DBE=90°，DE=2r=50，可得BD=DE•cos30°=。

（3）由（2）易得（﹣4k），又由PD2=PA×PC，可得方程：，解此方程即可求得AC的长，继而求得四边形ABCD的面积。