Question

在平面直角坐标系中，已知抛物线（b，c为常数）的顶点为P，等腰直角三角形ABC的顶点A的坐标为（0，﹣1），C的坐标为（4，3），直角顶点B在第四象限．

（1）如图，若该抛物线过A，B两点，求该抛物线的函数表达式；

（2）平移（1）中的抛物线，使顶点P在直线AC上滑动，且与AC交于另一点Q．

（i）若点M在直线AC下方，且为平移前（1）中的抛物线上的点，当以M、P、Q三点为顶点的三角形是等腰直角三角形时，求出所有符合条件的点M的坐标；

（ii）取BC的中点N，连接NP，BQ．试探究是否存在最大值？若存在，求出该最大值；若不存在，请说明理由．

Answer

【解析】
（1）由题意，得点B的坐标为（4，﹣1）．

∵抛物线过A（0，﹣1），B（4，﹣1）两点，

∴，解得。

∴抛物线的函数表达式为：。

（2）（i）∵A（0，﹣1），C（4，3），∴直线AC的解析式为：y=x﹣1。

设平移前抛物线的顶点为P0，则由（1）可得P0的坐标为（2，1），且P0在直线AC上。

∵点P在直线AC上滑动，∴可设P的坐标为（m，m﹣1）。

则平移后抛物线的函数表达式为：。

解方程组：，解得，。

∴P（m，m﹣1），Q（m﹣2，m﹣3）。

过点P作PE∥x轴，过点Q作QE∥y轴，则

PE=m﹣（m﹣2）=2，QE=（m﹣1）﹣（m﹣3）=2，

∴PQ==AP0。

若△MPQ为等腰直角三角形，则可分为以下两种情况：

①当PQ为直角边时：点M到PQ的距离为（即为PQ的长），

由A（0，﹣1），B（4，﹣1），P0（2，1）可知，

△ABP0为等腰直角三角形，且BP0⊥AC，BP0=。

如答图1，过点B作直线l1∥AC，交抛物线于点M，则M为符合条件的点。

∴可设直线l1的解析式为：y=x+b1。

∵B（4，﹣1），∴﹣1=4+b1，解得b1=﹣5。∴直线l1的解析式为：y=x﹣5。

解方程组，得：，。

∴M1（4，﹣1），M2（﹣2，﹣7）。

②当PQ为斜边时：MP=MQ=2，可求得点M到PQ的距离为．

如答图1，取AB的中点F，则点F的坐标为（2，﹣1）。

由A（0，﹣1），F（2，﹣1），P0（2，1）可知：

△AFP0为等腰直角三角形，且点F到直线AC的距离为。

过点F作直线l2∥AC，交抛物线于点M，则M为符合条件的点。

∴可设直线l2的解析式为：y=x+b2，

∵F（2，﹣1），∴﹣1=2+b2，解得b1=﹣3。∴直线l2的解析式为：y=x﹣3。

解方程组，得：，。

∴M3（，），M4（，）。

综上所述，所有符合条件的点M的坐标为：

M1（4，﹣1），M2（﹣2，﹣7），M3（，），M4（，）。

（ii）存在最大值。理由如下：

由（i）知PQ=为定值，则当NP+BQ取最小值时，有最大值。

如答图2，取点B关于AC的对称点B′，易得点B′的坐标为（0，3），BQ=B′Q。

连接QF，FN，QB′，易得FN∥PQ，且FN=PQ，

∴四边形PQFN为平行四边形。

∴NP=FQ。

∴NP+BQ=FQ+B′P≥FB′。

∴当B′、Q、F三点共线时，NP+BQ最小，最小值为。

∴的最大值为。

【解析】（1）先求出点B的坐标，然后利用待定系数法求出抛物线的函数表达式。

（2）（i）首先求出直线AC的解析式和线段PQ的长度，作为后续计算的基础。

若△MPQ为等腰直角三角形，则可分为以下两种情况：

①当PQ为直角边时：点M到PQ的距离为．此时，将直线AC向右平移4个单位后所得直线（y=x﹣5）与抛物线的交点，即为所求之M点。

②当PQ为斜边时：点M到PQ的距离为．此时，将直线AC向右平移2个单位后所得直线（y=x﹣3）与抛物线的交点，即为所求之M点．

（ii）由（i）可知，PQ=为定值，因此当NP+BQ取最小值时，有最大值。如答图2所示，作点B关于直线AC的对称点B′，由解析可知，当B′、Q、F（AB中点）三点共线时，NP+BQ最小，最小值为线段B′F的长度。