Question

（2013年四川攀枝花8分）如图，PA为⊙O的切线，A为切点，直线PO交⊙O与点E，F过点A作PO的垂线AB垂足为D，交⊙O与点B，延长BO与⊙O交与点C，连接AC，BF．

（1）求证：PB与⊙O相切；

（2）试探究线段EF，OD，OP之间的数量关系，并加以证明；

（3）若AC=12，tan∠F=，求cos∠ACB的值．

Answer

【解析】
（1）证明：连接OA，

∵PA与⊙O相切，

∴PA⊥OA，即∠OAP=90°。

∵OP⊥AB，∴D为AB中点，即OP垂直平分AB

∴PA=PB。

∵在△OAP和△OBP中，，

∴△OAP≌△OBP（SSS）。

∴∠OAP=∠OBP=90°。∴BP⊥OB。

∵OB是⊙O的半径，∴PB为圆O的切线。

（2）EF2=4DO•PO。证明如下：

∵∠OAP=∠ADO=90°，∠AOD=∠POA，∴△OAD∽△OPA。

∴，即OA2=OD•OP。

∵EF为圆的直径，即EF=2OA，∴EF2=OD•OP，即EF2=4OD•OP。

（3）连接BE，则∠FBE=90°。

∵tan∠F=，∴。∴可设BE=x，BF=2x。

则由勾股定理，得。

∵S△BEF=BE•BF=EF•BD，∴BD=。

又∵AB⊥EF，∴AB=2BD=。

∴Rt△ABC中，BC=，AC2+AB2=BC2，

∴122+（）2=（）2，解得：x=。

∴BC==20。

∴。

【解析】（1）连接OA，由OP垂直于AB，利用垂径定理得到D为AB的中点，即OP垂直平分AB，可得出AP=BP，再由OA=OB，OP=OP，利用SSS得出三角形AOP与三角形BOP全等，由PA为圆的切线，得到OA垂直于AP，利用全等三角形的对应角相等及垂直的定义得到OB垂直于BP，即PB为圆O的切线。

（2）由一对直角相等，一对公共角，得出三角形AOD与三角形OAP相似，由相似得比例，列出关系式，由OA为EF的一半，等量代换即可得证。

（3）连接BE，构建直角△BEF．在该直角三角形中利用锐角三角函数的定义、勾股定理可设BE=x，BF=2x，进而可得EF=；然后由面积法求得，所以根据垂径定理求得AB的长度，在Rt△ABC中，根据勾股定理易求BC的长；最后由余弦三角函数的定义求解。

考点：圆的综合题，切线的判定和性质，圆周角定理，垂径定理，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数定义，勾股定理，三角形面积法的应用。