Question

（2013年四川攀枝花12分）如图，抛物线y=ax²+bx+c经过点A（﹣3，0），B（1.0），C（0，﹣3）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若点P为第三象限内抛物线上的一点，设△PAC的面积为S，求S的最大值并求出此时点P的坐标；

（3）设抛物线的顶点为D，DE⊥x轴于点E，在y轴上是否存在点M，使得△ADM是直角三角形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

【解析】
（1）由于抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣3，0），B（1，0），可设抛物线的解析式为：y=a（x+3）（x﹣1），

将C点坐标（0，﹣3）代入，得：a（0+3）（0﹣1）=5，解得 a=1。

∴抛物线的解析式为：y=（x+3）（x﹣1），即y=x2+2x﹣3。

（2）如图1，过点P作x轴的垂线，交AC于点N．

设直线AC的解析式为y=kx+m，由题意，得，解得。

∴直线AC的解析式为：y=﹣x﹣3。

设P点坐标为（x，x2+2x﹣3），

则点N的坐标为（x，﹣x﹣3），

∴PN=PE﹣NE=﹣（x2+2x﹣3）+（﹣x﹣3）=﹣x2﹣3x。

∵S△PAC=S△PAN+S△PCN，

∴。

∴当x=时，S有最大值，此时点P的坐标为（，）。

（3）在y轴上是否存在点M，能够使得△ADE是直角三角形。理由如下：

∵y=x2+2x﹣3=y=（x+1）2﹣4，∴顶点D的坐标为（﹣1，﹣4）。

∵A（﹣3，0），∴AD2=（﹣1+3）2+（﹣4﹣0）2=20。

设点M的坐标为（0，t），分三种情况进行讨论：

①当A为直角顶点时，如图2，

由勾股定理，得AM2+AD2=DM2，

即（0+3）2+（t﹣0）2+20=（0+1）2+（t+4）2，解得t=。

∴点M的坐标为（0，）。

②当D为直角顶点时，如图3，

由勾股定理，得DM2+AD2=AM2，

即（0+1）2+（t+4）2+20=（0+3）2+（t﹣0）2，解得t=。

∴点M的坐标为（0，）。

③当M为直角顶点时，如图4，

由勾股定理，得AM2+DM2=AD2，

即（0+3）2+（t﹣0）2+（0+1）2+（t+4）2=20，解得t=﹣1或﹣3。

∴点M的坐标为（0，﹣1）或（0，﹣3）。

综上所述，在y轴上存在点M，能够使得△ADE是直角三角形，此时点M的坐标为（0，）或（0，）或（0，﹣1）或（0，﹣3）。

【解析】（1）已知抛物线上的三点坐标，利用待定系数法可求出该二次函数的解析式。

（2）过点P作x轴的垂线，交AC于点N，先运用待定系数法求出直线AC的解析式，设P点坐标为（x，x2+2x﹣3），根据AC的解析式表示出点N的坐标，再根据S△PAC=S△PAN+S△PCN就可以表示出△PAC的面积，运用顶点式就可以求出结论。

（3）分三种情况进行讨论：①以A为直角顶点；②以D为直角顶点；③以M为直角顶点；设点M的坐标为（0，t），根据勾股定理列出方程，求出t的值即可。

考点：二次函数综合题，待定系数法的应用，曲线上点的坐标与方程的关系，由实际问题列函数关系式，二次函数的性质，勾股定理，直角坐标三角形的判定，转换思想和分类思想的应用。