Question

（2013年四川泸州12分）如图，在直角坐标系中，点A的坐标为（﹣2，0），点B的坐标为（1，），已知抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）经过三点A、B、O（O为原点）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）在该抛物线的对称轴上，是否存在点C，使△BOC的周长最小？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）如果点P是该抛物线上x轴上方的一个动点，那么△PAB是否有最大面积？若有，求出此时P点的坐标及△PAB的最大面积；若没有，请说明理由．（注意：本题中的结果均保留根号）

Answer

【解析】
（1）将A（﹣2，0），B（1，），O（0，0）三点的坐标代入y=ax2+bx+c（a≠0），得：

，解得：。

∴所求抛物线解析式为。

（2）存在。理由如下：

如答图①所示，

∵，

∴抛物线的对称轴为x=﹣1。

∵点C在对称轴x=﹣1上，△BOC的周长=OB+BC+CO。

∵OB=2，∴要使△BOC的周长最小，必须BC+CO最小。

∵点O与点A关于直线x=﹣1对称，有CO=CA，

△BOC的周长=OB+BC+CO=OB+BC+CA，

∴当A、C、B三点共线，即点C为直线AB与抛物线对称轴的交点时，BC+CA最小，此时△BOC的周长最小。

设直线AB的解析式为y=kx+t，则有：

，解得：。

∴直线AB的解析式为。

当x=﹣1时，，∴所求点C的坐标为（﹣1，）。

（3）设P（x，y）（﹣2＜x＜0，y＜0），

则①

如答图②所示，过点P作PQ⊥y轴于点Q，PG⊥x轴于点G，过点A作AF⊥PQ轴于点F，过点B作BE⊥PQ轴于点E，则PQ=﹣x，PG=y，由题意可得：

将①代入②得：

，

∴当x=时，△PAB的面积最大，最大值为。

此时。

∴点P的坐标为（，）。

【解析】（1）直接将A、O、B三点坐标代入抛物线解析式的一般式，可求解析式。

（2）因为点A，O关于对称轴对称，连接AB交对称轴于C点，C点即为所求，求直线AB的解析式，再根据C点的横坐标值，求纵坐标。

（3）设P（x，y）（﹣2＜x＜0，y＜0），用割补法可表示△PAB的面积，根据面积表达式再求取最大值时，x的值。

考点：二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，轴对称的应用（线段和最小的问题），由实际问题列函数关系式，二次函数最值，转换思想的应用。