Question

（2013年四川眉山8分）如图，某防洪指挥部发现长江边一处长500米，高10米，背水坡的坡角为45°的防洪大堤（横断面为梯形ABCD）急需加固．经调查论证，防洪指挥部专家组制定的加固方案是：背水坡面用土石进行加固，并使上底加宽3米，加固后背水坡EF的坡比i=1：．

（1）求加固后坝底增加的宽度AF；

（2）求完成这项工程需要土石多少立方米？（结果保留根号）

Answer

【解析】
（1）分别过点E、D作EG⊥AB、DH⊥AB交AB于G、H。

∵四边形ABCD是梯形，且AB∥CD，

∴DHEG。

∴四边形EGHD是矩形。∴ED=GH。

在Rt△ADH中，

AH=DH÷tan∠DAH=10÷tan45°=10（米），

在Rt△FGE中，，

∴FG=EG=10（米）。

∴AF=FG+GH﹣AH=10+3﹣10=10﹣7（米）。

答：加固后坝底增加的宽度AF为（10﹣7）米。

（2）加宽部分的体积V=S梯形AFED×坝长=×（3+10﹣7）×10×500=2500010000（立方米）。

答：完成这项工程需要土石（25000﹣10000）立方米。  

【解析】（1）分别过E、D作AB的垂线，设垂足为G、H．在Rt△EFG中，根据坡面的铅直高度（即坝高）及坡比，即可求出水平宽FG的长；同理可在Rt△ADH中求出AH的长；由AF=FG+GH﹣AH求出AF的长。

（2）已知了梯形AFED的上下底和高，易求得其面积．梯形AFED的面积乘以坝长即为所需的土石的体积。

考点：解直角三角形的应用（坡度坡角问题），锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。