Question

（2013年四川眉山9分）在矩形ABCD中，DC=2，CF⊥BD分别交BD、AD于点E、F，连接BF．

（1）求证：△DEC∽△FDC；

（2）当F为AD的中点时，求sin∠FBD的值及BC的长度．

Answer

【解析】
（1）证明：∵∠DEC=∠FDC=90°，∠DCE=∠FCD，

∴△DEC∽△FDC。

（2）∵F为AD的中点，AD∥BC，∴FE：EC=FD：BC=1：2，FB=FC。

∴FE：FC=1：3，∴。

设EF=x，则FC=3x，

∵△DEC∽△FDC，∴，即：6x2=12，解得：x=。

∴CF=3。

在Rt△CFD中，。

∴BC=2DF=2。

【解析】（1）根据题意可得∠DEC=∠FDC，利用两角法即可进行相似的判定。

（2）根据F为AD的中点，可得FB=FC，根据AD∥BC，可得FE：EC=FD：BC=1：2，再由sin∠FBD=EF：BF=EF：FC，即可得出答案，设EF=x，则EC=2x，利用（1）的结论求出x，在Rt△CFD中求出FD，继而得出BC。

考点：矩形的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，锐角三角函数定义，勾股定理。