Question

（2013年四川眉山11分）如图，在平面直角坐标系中，点A、B在x轴上，点C、D在y轴上，且OB=OC=3，OA=OD=1，抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）经过A、B、C三点，直线AD与抛物线交于另一点M．

（1）求这条抛物线的解析式；

（2）P为抛物线上一动点，E为直线AD上一动点，是否存在点P，使以点A、P、E为顶点的三角形为等腰直角三角形？若存在，请求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．

（3）请直接写出将该抛物线沿射线AD方向平移个单位后得到的抛物线的解析式．

Answer

【解析】
（1）根据题意得，A（1，0），D（0，1），B（﹣3，0），C（0，﹣3），

∵抛物线经过点A（1，0），B（﹣3，0），C（0，﹣3），

∴，解得。

∴抛物线的解析式为：y=x2+2x﹣3。

（2）存在。△APE为等腰直角三角形，有三种可能的情形：

①以点A为直角顶点，

如图，过点A作直线AD的垂线，与抛物线交于点P，与y轴交于点F。

∵OA=OD=1，∴△AOD为等腰直角三角形。

∵PA⊥AD，∴△OAF为等腰直角三角形。

∴OF=1，F（0，﹣1）。

设直线PA的解析式为y=kx+b，

将点A（1，0），F（0，﹣1）的坐标代入得：

，解得。

∴直线PA的解析式为y=x﹣1。

将y=x﹣1代入抛物线解析式y=x2+2x﹣3得

x2+2x﹣3=x﹣1，整理得：x2+x﹣2=0，

解得x=﹣2或x=1。

当x=﹣2时，y=x﹣1=﹣3。∴P（﹣2，﹣3）。

②以点P为直角顶点，

此时∠PAE=45°，因此点P只能在x轴上或过点A与y轴平行的直线上。

过点A与y轴平行的直线，只有点A一个交点，故此种情形不存在；

因此点P只能在x轴上，而抛物线与x轴交点只有点A、点B，故点P与点B重合，

∴P（﹣3，0）。

③以点E为直角顶点，

此时∠EAP=45°，由②可知，此时点P只能与点B重合，点E位于直线AD与对称轴的交点上。

综上所述，存在点P，使以点A、P、E为顶点的三角形为等腰直角三角形。

点P的坐标为（﹣2，﹣3）或（﹣3，0）。

（3）y==x2+4x+1。

【解析】（1）应用待定系数法求出抛物线的解析式。

（2）△APE为等腰直角三角形，有三种可能的情形，需要分类讨论：

①以点A为直角顶点．过点A作直线AD的垂线，与抛物线的交点即为所求点P．首先求出直线PA的解析式，然后联立抛物线与直线PA的解析式，求出点P的坐标；

②以点P为直角顶点．此时点P只能与点B重合；

③以点E为直角顶点．此时点P亦只能与点B重合。

（3）抛物线的解析式为：y=x2+2x﹣3=（x+1）2﹣4，

∵抛物线沿射线AD方向平移个单位，相当于向左平移1个单位，并向上平移一个单位，

∴平移后的抛物线的解析式为：y=（x+1+1）2﹣4+1=x2+4x+1。

考点：二次函数综合题，双动点和平移问题，曲线上点的坐标与方程的关系，等腰直角三角形的判定，二次函数的性质，平移的性质，分类思想的应用。