Question

（2013年四川绵阳12分）如图，AB是⊙O的直径，C是半圆O上的一点，AC平分∠DAB，AD⊥CD，垂足为D，AD交⊙O于E，连接CE．

（1）判断CD与⊙O的位置关系，并证明你的结论；

（2）若E是的中点，⊙O的半径为1，求图中阴影部分的面积．

Answer

【解析】
（1）CD与⊙O相切。理由如下：

∵AC为∠DAB的平分线，∴∠DAC=∠BAC。

∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA。，∴∠DAC=∠OCA。

∴OC∥AD。

∵AD⊥CD，∴OC⊥CD。

∵OC是⊙O的半径，∴CD与⊙O相切。

（2）如图，连接EB，由AB为直径，得到∠AEB=90°，

∴EB∥CD，F为EB的中点。∴OF为△ABE的中位线。

∴OF=AE=，即CF=DE=。

在Rt△OBF中，根据勾股定理得：EF=FB=DC=。

∵E是的中点，∴=，∴AE=EC。∴S弓形AE=S弓形EC。

∴S阴影=S△DEC=××=。

【解析】（1）CD与圆O相切，理由为：由AC为角平分线得到一对角相等，再由OA=OC，利用等边对等角得到一对角相等，等量代换得到一对内错角相等，利用内错角相等两直线平行得到OC与AD平行，根据AD垂直于CD，得到OC垂直于CD，即可得证。

（2）根据E为弧AC的中点，得到弧AE=弧EC，利用等弧对等弦得到AE=EC，可得出弓形AE与弓形EC面积相等，阴影部分面积拼接为直角三角形DEC的面积，求出即可。

考点：角平分线定义，等腰三角形的性质，平行的判定和性质，切线的判定，圆周角定理，三角形中位线定理，勾股定理，扇形面积的计算，转换思想的应用。