Question

（2013年四川绵阳12分）如图，已知矩形OABC中，OA=2，AB=4，双曲线（k＞0）与矩形两边AB、BC分别交于E、F．

（1）若E是AB的中点，求F点的坐标；

（2）若将△BEF沿直线EF对折，B点落在x轴上的D点，作EG⊥OC，垂足为G，证明△EGD∽△DCF，并求k的值．

Answer

【解析】
（1）∵点E是AB的中点，OA=2，AB=4，∴点E的坐标为（2，2）。

将点E的坐标代入，可得k=4。

∴反比例函数解析式为：。

∵点F的横坐标为4，∴点F的纵坐标。

∴点F的坐标为（4，1）。

（2）结合图形可设点E坐标为（，2），点F坐标为（4，），

则CF=，BF=DF=2﹣，ED=BE=AB﹣AE=4﹣，

在Rt△CDF中，。

由折叠的性质可得：BE=DE，BF=DF，∠B=∠EDF=90°，

∵∠CDF+∠EDG=90°，∠GED+∠EDG=90°，∴∠CDF=∠GED。

又∵∠EGD=∠DCF=90°，∴△EGD∽△DCF。

∴，即。

∴=1，解得：k=3。

【解析】（1）根据点E是AB中点，可求出点E的坐标，将点A的坐标代入反比例函数解析式可求出k的值，再由点F的横坐标为4，可求出点F的纵坐标，继而得出答案。

（2）证明∠GED=∠CDF，然后利用两角法可判断△EGD∽△DCF，设点E坐标为（，2），点E坐标为（4，），即可得CF=，BF=DF=2﹣，在Rt△CDF中表示出CD，利用对应边成比例可求出k的值。

考点：反比例函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，折叠的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质。