Question

（2013年四川资阳9分）如图，已知直线l分别与x轴、y轴交于A，B两点，与双曲线（a≠0，x＞0）分别交于D、E两点．

（1）若点D的坐标为（4，1），点E的坐标为（1，4）：

①分别求出直线l与双曲线的解析式；

②若将直线l向下平移m（m＞0）个单位，当m为何值时，直线l与双曲线有且只有一个交点？

（2）假设点A的坐标为（a，0），点B的坐标为（0，b），点D为线段AB的n等分点，请直接写出b的值．

Answer

【解析】
（1）①把D（4，1）代入得a=1×4=4，

∴反比例函数解析式为（x＞0）。

设直线l的解析式为y=kx+t，

把D（4，1），E（1，4）代入得，解得。

∴直线l的解析式为y=﹣x+5。

②直线l向下平移m（m＞0）个单位得到y=﹣x+5﹣m，

当方程组只有一组解时，直线l与双曲线有且只有一个交点，

化为关于x的方程得x2+（5﹣m）x+4=0，

△=（m﹣5）2﹣4×4=0，解得m1=1，m2=9。

而m=9时，解得x=﹣2，故舍去。

∴当m=1时，直线l与双曲线有且只有一个交点。

（2）如图，作DF⊥x轴于点F，

∵点D为线段AB的n等分点，∴DA：AB=1：n。

∵DF∥OB，∴△ADF∽△ABO。

∴，即。

∴。∴OF=。

∴D点坐标为（，）。

把D（，）代入得（）•=a，解得。

【解析】（1）①运用待定系数法可分别得到直线l与双曲线的解析式。

②直线l向下平移m（m＞0）个单位得到y=﹣x+5﹣m，根据题意得方程组只有一组解时，化为关于x的方程得x2+（5﹣m）x+4=0，则△=（m﹣5）2﹣4×4=0，解得m1=1，m2=9。当m=9时，公共点不在第一象限，所以m=1。

（2）作DF⊥x轴，由DF∥OB得到△ADF∽△ABO，根据相似比可得到，则D点坐标为（，），然后把D点坐标代入反比例函数解析式中即可得到b的值。

考点：反比例函数综合题，待定系数法点的应用，曲线上点的坐标与方程的关系，一元二次方程根的判别式，相似三角形的判定和性质。