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(2013年四川资阳11分)在一个边长为a(单位:cm)的正方形ABCD中,点E、M分别是线段AC,CD上的动点,连结DE并延长交正方形的边于点F,过点M作MN⊥DF于H,交AD于N.

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(1)如图1,当点M与点C重合,求证:DF=MN;

(2)如图2,假设点M从点C出发,以1cm/s的速度沿CD向点D运动,点E同时从点A出发,以满分5 manfen5.comcm/s速度沿AC向点C运动,运动时间为t(t>0);

①判断命题“当点F是边AB中点时,则点M是边CD的三等分点”的真假,并说明理由.

②连结FM、FN,△MNF能否为等腰三角形?若能,请写出a,t之间的关系;若不能,请说明理由.

 

【解析】 (1)证明:∵∠DNC+∠ADF=90°,∠DNC+∠DCN=90°,∴∠ADF=∠DCN。 在△ADF与△DNC中,∵, ∴△ADF≌△DNC(ASA)。∴DF=MN。 (2)①该命题是真命题。理由如下: 当点F是边AB中点时,则AF=AB=CD。 ∵AB∥CD,∴△AFE∽△CDE, ∴。∴AE=EC,则AE=AC=a。∴。 ∴CM=1•t=a=CD。 ∴点M为边CD的三等分点 ②能。理由如下: 易证AFE∽△CDE,∴,即,得。 易证△MND∽△DFA,∴,即,得ND=t。 ∴ND=CM=t,AN=DM=a﹣t。 若△MNF为等腰三角形,则可能有三种情形: (I)若FN=MN,则由AN=DM知△FAN≌△NDM, ∴AF=DM,即=t,得t=0,不合题意。∴此种情形不存在。 (II)若FN=FM,由MN⊥DF知,HN=HM,∴DN=DM=MC, ∴t=a,此时点F与点B重合。 (III)若FM=MN,显然此时点F在BC边上,如图所示, 易得△MFC≌△NMD,∴FC=DM=a﹣t。 又由△NDM∽△DCF,∴,即 ∴。 ∴=a﹣t。 ∴t=a,此时点F与点C重合。 综上所述,当t=a或t=a时,△MNF能够成为等腰三角形。 【解析】(1)证明△ADF≌△DNC,即可得到DF=MN。 (2)①首先证明△AFE∽△CDE,利用比例式求出时间t=a,进而得到CM=a=CD,所以该命题为真命题。 ②若△MNF为等腰三角形,则可能有三种情形,需要分类讨论。 考点:四边形综合题,双动点问题,命题和证明,正方形的性质,全等三角形的判定和性质,相似三角形的判定和性质,等腰三角形的判定,分类思想的应用。
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(2013年四川资阳9分)钓鱼岛历来是中国领土,以它为圆心在周围12海里范围内均属于禁区,不允许它国船只进入,如图,今有一中国海监船在位于钓鱼岛A正南方距岛60海里的B处海域巡逻,值班人员发现在钓鱼岛的正西方向52海里的C处有一艘日本渔船,正以9节的速度沿正东方向驶向钓鱼岛,中方立即向日本渔船发出警告,并沿北偏西30°的方向以12节的速度前往拦截,期间多次发出警告,2小时候海监船到达D处,与此同时日本渔船到达E处,此时海监船再次发出严重警告.

(1)当日本渔船受到严重警告信号后,必须沿北偏东转向多少度航行,才能恰好避免进入钓鱼岛12海里禁区?

(2)当日本渔船不听严重警告信号,仍按原速度,原方向继续前进,那么海监船必须尽快到达距岛12海里,且位于线段AC上的F处强制拦截渔船,问海监船能否比日本渔船先到达F处?(注:①中国海监船的最大航速为18节,1节=1海里/小时;②参考数据:sin26.3°≈0.44,sin20.5°≈0.35,sin18.1°≈0.31,满分5 manfen5.com≈1.4,满分5 manfen5.com≈1.7)

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(1)若点D的坐标为(4,1),点E的坐标为(1,4):

①分别求出直线l与双曲线的解析式;

②若将直线l向下平移m(m>0)个单位,当m为何值时,直线l与双曲线有且只有一个交点?

(2)假设点A的坐标为(a,0),点B的坐标为(0,b),点D为线段AB的n等分点,请直接写出b的值.

 

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(1)如图1,若点D与圆心O重合,AC=2,求⊙O的半径r;

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(1)初三(1)班学生体育达标率和本年级其余各班学生体育达标率各是多少?

(2)若除初三(1)班外其余班级学生体育考试成绩在30﹣﹣40分的有120人,请补全扇形统计图;(注:请在图中分数段所对应的圆心角的度数)

(3)如果要求全年级学生的体育达标率不低于90%,试问在本次调查中,该年级全体学生的体育达标率是否符合要求?

 

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