Question

如图，在直角体系中，直线AB交x轴于点A（5，0），交y轴于点B，AO是⊙M的直径，其半圆交AB于点C，且AC=3。取BO的中点D，连接CD、MD和OC。

（1）求证：CD是⊙M的切线；

（2）二次函数的图象经过点D、M、A，其对称轴上有一动点P，连接PD、PM，求△PDM的周长最小时点P的坐标；

（3）在（2）的条件下，当△PDM的周长最小时，抛物线上是否存在点Q，使？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由。

Answer

【解析】
（1）证明：连接CM，    

∵OA 为⊙M直径，∴∠OCA=90°。∴∠OCB=90°。

∵D为OB中点，∴DC=DO。∴∠DCO=∠DOC。

∵MO=MC，∴∠MCO=∠MOC。

∴。

又∵点C在⊙M上，∴DC是⊙M的切线。

（2）∵A点坐标（5，0），AC=3

∴在Rt△ACO中，。

∴，∴，解得 。

又∵D为OB中点，∴。∴D点坐标为（0，)。

连接AD，设直线AD的解析式为y=kx+b，则有

解得。

∴直线AD为。

∵二次函数的图象过M（，0)、A(5，0)，

∴抛物线对称轴x=。

∵点M、A关于直线x=对称，设直线AD与直线x=交于点P，

∴PD+PM为最小。

又∵DM为定长，∴满足条件的点P为直线AD与直线x=的交点。

当x=时，。

∴P点的坐标为（，）。

（3）存在。

∵，

又由（2）知D（0，)，P（，），

∴由，得，解得yQ=±。

∵二次函数的图像过M(0，)、A(5，0），

∴设二次函数解析式为，

又∵该图象过点D（0，)，∴，解得a=。

∴二次函数解析式为。

又∵Q点在抛物线上，且yQ=±。

∴当yQ=时，，解得x=或x=；

当yQ=时，，解得x=。

∴点Q的坐标为（，)，或（，)，或（，）。

【解析】

试题分析：（1）连接CM，可以得出CM=OM，就有∠MOC=∠MCO，由OA为直径，就有∠ACO=90°，D为OB的中点，就有CD=OD，∠DOC=∠DCO，由∠DOC+∠MOC=90°就可以得出∠DCO+∠MCO=90°而得出结论。

（2）根据条件可以得出和，从而求出OB的值，根据D是OB的中点就可以求出D的坐标，由待定系数法就可以求出抛物线的解析式，求出对称轴，根据轴对称的性质连接AD交对称轴于P，先求出AD的解析式就可以求出P的坐标。

（3）根据，求出Q的纵坐标，求出二次函数解析式即可求得横坐标。