Question

如图，AB是⊙O的直径，BC为⊙O的切线，D为⊙O上的一点，CD=CB，延长CD交BA的延长线于点E．

（1）求证：CD为⊙O的切线；

（2）若BD的弦心距OF=1，∠ABD=30°，求图中阴影部分的面积．（结果保留π）

Answer

【解析】
（1）证明：连接OD，

∵BC是⊙O的切线，∴∠ABC=90°。

∵CD=CB，∴∠CBD=∠CDB。

∵OB=OD，∴∠OBD=∠ODB。

∴∠ODC=∠ABC=90°，即OD⊥CD。

∵点D在⊙O上，∴CD为⊙O的切线。

（2）在Rt△OBF中，∵∠ABD=30°，OF=1，∴∠BOF=60°，OB=2，BF=。

∵OF⊥BD，∴BD=2BF=2，∠BOD=2∠BOF=120°，

∴。 

【解析】（1）连接OD，由BC是⊙O的切线，可得∠ABC=90°，由CD=CB，OB=OD，易证得∠ODC=∠ABC=90°，即可证得CD为⊙O的切线。

（2）在Rt△OBF中，∠ABD=30°，OF=1，可求得BD的长，∠BOD的度数，又由，即可求得答案。