Question

如图，已知抛物线经过A（－3，0），B（1，0），C（0，3）三点，其顶点为D，对称轴是直线l，l与x轴交于点H．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）若点P是该抛物线对称轴l上的一个动点，求△PBC周长的最小值；

（3）如图（2），若E是线段AD上的一个动点（ E与A、D不重合），过E点作平行于y轴的直线交抛物线于点F，交x轴于点G，设点E的横坐标为m，△ADF的面积为S．

①求S与m的函数关系式；

②S是否存在最大值？若存在，求出最大值及此时点E的坐标； 若不存在，请说明理由．

Answer

【解析】
（1）∵抛物线经过A（－3，0），B（1，0），

                 ∴可设抛物线交点式为。

                 又∵抛物线经过C（0，3），∴。

∴抛物线的解析式为：，即。

（2）∵△PBC的周长为：PB+PC+BC，且BC是定值。

∴当PB+PC最小时，△PBC的周长最小。

∵点A、点B关于对称轴I对称，

∴连接AC交l于点P，即点P为所求的点。

∵AP=BP，∴△PBC的周长最小是：PB+PC+BC=AC+BC。

∵A（－3，0），B（1，0），C（0，3），∴AC=3，BC=。

∴△PBC的周长最小是：。

（3）①∵抛物线顶点D的坐标为（﹣1，4），A（﹣3，0），

∴直线AD的解析式为y=2x+6

∵点E的横坐标为m，∴E（m，2m+6），F（m，）

∴。

∴。

∴S与m的函数关系式为。

②，

∴当m=﹣2时，S最大，最大值为1，此时点E的坐标为（﹣2，2）。

【解析】（1）根据函数图象经过的三点，用待定系数法确定二次函数的解析式即可。

（2）根据BC是定值，得到当PB+PC最小时，△PBC的周长最小，根据点的坐标求得相应线段的长即可。

（3）设点E的横坐标为m，表示出E（m，2m+6），F（m，），最后表示出EF的长，从而表示出S于m的函数关系，然后求二次函数的最值即可。