Question

如图，已知抛物线与x轴交于点A，B，AB=2，与y轴交于点C，对称轴为直线x=2．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）设P为对称轴上一动点，求△APC周长的最小值；

（3）设D为抛物线上一点，E为对称轴上一点，若以点A，B，D，E为顶点的四边形是菱形，则点D的坐标为      　．

Answer

【解析】
（1）∵AB=2，对称轴为直线x=2，

∴点A的坐标是（1，0），点B的坐标是（3，0）。

设抛物线的函数表达式为，

将A（1，0）代入得：，解得。

∴抛物线的函数表达式为，即。

 （2）如图1，连接AC、BC，BC交对称轴于点P，连接PA．

  由（1）抛物线解析式为，A（1，0），B（3，0），

∴C（0，3）。

∴。

∵点A、B关于对称轴x=2对称，∴PA=PB。∴PA+PC=PB+PC。此时，PB+PC=BC。

∴点P在对称轴上运动时，（PA+PB）的最小值等于BC。

∴△APC的周长的最小值=AC+AP+PC=AC+BC=。

（3）（2，﹣1）。

【解析】

试题分析：（1）根据抛物线对称轴的定义易求A（1，0），B（3，0），所以设抛物线的顶点式，将点A的坐标代入即可求得h，得到抛物线的函数表达式。

 （2）如图1，连接AC、BC，BC交对称轴于点P，连接PA．根据抛物线的对称性质得到PA=PB，则△APC的周长的最小值=AC+AP+PC=AC+BC，所以根据两点间的距离公式来求该三角形的周长的最小值即可。

（3）如图2，根据“菱形ADBE的对角线互相垂直平分，抛物线的对称性”得到点D是抛物线的顶点坐标，即（2，﹣1）。