Question

如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC=∠ACB=90°，E为AB的中点，

（1）求证：AC²=AB•AD；

（2）求证：CE∥AD；

（3）若AD=4，AB=6，求 的值．

Answer

【解析】
（1）证明：∵AC平分∠DAB，∴∠DAC=∠CAB。

∵∠ADC=∠ACB=90°，∴△ADC∽△ACB。

∴，即AC2=AB•AD。

（2）证明：∵E为AB的中点，∴CE=AB=AE。∴∠EAC=∠ECA。

∵∠DAC=∠CAB，∴∠DAC=∠ECA。∴CE∥AD。

（3）∵CE∥AD，∴△AFD∽△CFE，∴。

∵CE=AB，∴CE=×6=3。

∵AD=4，∴。∴。

【解析】（1）由AC平分∠DAB，∠ADC=∠ACB=90°，可证得△ADC∽△ACB，然后由相似三角形的对应边成比例，证得AC2=AB•AD。

（2）由E为AB的中点，根据在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，即可证得CE=AB=AE，从而可证得∠DAC=∠ECA，得到CE∥AD。

（3）易证得△AFD∽△CFE，然后由相似三角形的对应边成比例，求得的值，从而得到的值。