Question

如图，反比例函数的图象经过线段OA的端点A，O为原点，作AB⊥x轴于点B，点B的坐标为(2，0)，tan∠AOB=。

（1）求k的值；

（2）将线段AB沿x轴正方向平移到线段DC的位置，反比例函数的图象恰好经过DC的中点E，求直线AE的函数表达式；

（3）若直线AE与x轴交于点M、与y轴交于点N，请你探索线段AN与线段ME的大小关系，写出你的结论并说明理由.

Answer

【解析】
（1）由已知条件得，在Rt△OAB中，OB=2，tan∠AOB=，∴。∴AB=3。

∴A点的坐标为（2，3）。

∴k=xy=6。

（2）∵DC由AB平移得到，点E为DC的中点，∴点E的纵坐标为。

又∵点E在双曲线上，∴点E的坐标为（4，）。

设直线AE的函数表达式为，则

，解得。

∴直线AE的函数表达式为。

（3）结论：AN=ME。理由：

在表达式中，令y=0可得x=6，令x=0可得y=。

∴点M（6，0），N（0，）。

解法一：延长DA交y轴于点F，则AF⊥ON，且AF=2，OF=3，

∴NF=ON－OF=。

∴根据勾股定理可得AN=。

∵CM=6－4=2，EC=，

∴根据勾股定理可得EM=。

∴AN=ME。

解法二：连接OE，延长DA交y轴于点F，则AF⊥ON，且AF=2，

∵，

∴，

∵AN和ME边上的高相等，

∴AN=ME。

【解析】

试题分析：（1）在直角△AOB中利用三角函数求得A的坐标，然后利用待定系数法即可求得k的值.

（2）已知E是DC的中点，则E的纵坐标已知，代入反比例函数的解析式即可求得E的坐标，然后利用待定系数法即可求得直线的解析式.

（3）首先求得M、N的坐标，延长DA交y轴于点F，则AF⊥ON，利用勾股定理求得AN和EM的长，即可证得.