Question

如图1，△ABC是等腰直角三角形，四边形ADEF是正方形，D、F分别在AB、AC边上，此时BD=CF，BD⊥CF成立。

（1）当正方形ADEF绕点A逆时针旋转θ（0°＜θ＜90°）时，如图2，BD=CF成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由。

（2）当正方形ADEF绕点A逆时针旋转45°时，如图3，延长BD交CF于点G。

求证：BD⊥CF。

（3）在（2）小题的条件下, AC与BG的交点为M， 当AB=4，AD=时，求线段CM的长。

Answer

【解析】
（1）BD=CF成立。理由如下：

∵△ABC是等腰直角三角形，四边形ADEF是正方形，

∴AB=AC，AD=AF，∠BAC=∠DAF=90°。

∵∠BAD=∠BAC﹣∠DAC，∠CAF=∠DAF﹣∠DAC，∴∠BAD=∠CAF。

在△BAD和△CAF中，∵AB=AC，∠BAD=∠CAF，

∴△BAD≌△CAF（SAS）。∴BD=CF。

（2）证明：∵△BAD≌△CAF（已证），∴∠ABM=∠GCM。

又∵∠BMA=∠CMG，∴△BMA∽△CMG。

∴∠BGC=∠BAC=90°。∴BD⊥CF。

（3）过点F作FN⊥AC于点N。

∵在正方形ADEF中，AD=DE=，

∴。

∴AN=FN=AE=1。

∵在等腰直角△ABC 中，AB=4，

∴CN=AC﹣AN=3，。

∴在Rt△FCN中，，

在Rt△ABM中，。

∴AM=。

∴CM=AC－AM=4－。

【解析】

试题分析：（1）△ABC是等腰直角三角形，四边形ADEF是正方形，易证得△BAD≌△CAF，根据全等三角形的对应边相等，即可证得BD=CF。

（2）由△BAD≌△CAF，可得∠ABM=∠GCM，又由对顶角相等，易证得△BMA∽△CMG，根据相似三角形的对应角相等，可得BGC=∠BAC=90°，即可证得BD⊥CF。

（3）首先过点F作FN⊥AC于点N，利用勾股定理即可求得AE，BC的长，继而求得AN，CN的长，又由等角的三角函数值相等，可求得AM=。从而可求得线段CM的长。