Question

已知，点P是直角三角形ABC斜边AB上一动点（不与A，B重合），分别过A，B向直线CP作垂线，垂足分别为E，F，Q为斜边AB的中点．

（1）如图1，当点P与点Q重合时，AE与BF的位置关系是　    　，QE与QF的数量关系式　    　；

（2）如图2，当点P在线段AB上不与点Q重合时，试判断QE与QF的数量关系，并给予证明；

（3）如图3，当点P在线段BA（或AB）的延长线上时，此时（2）中的结论是否成立？请画出图形并给予证明．

Answer

【解析】
（1）AE∥BF，QE=QF。

（2）QE=QF，证明如下：

如图，延长FQ交AE于D，

∵AE∥BF，∴∠QAD=∠FBQ。

在△FBQ和△DAQ中，∵，

∴△FBQ≌△DAQ（ASA）。∴QF=QD。

∵AE⊥CP，∴EQ是直角三角形DEF斜边上的中线。

∴QE=QF=QD，即QE=QF。

（3）（2）中的结论仍然成立。证明如下：

如图，延长EQ、FB交于D，

∵AE∥BF，∴∠1=∠D。

在△AQE和△BQD中，，

∴△AQE≌△BQD（AAS），∴QE=QD。

∵BF⊥CP，∴FQ是斜边DE上的中线。∴QE=QF。

【解析】（1）证△BFQ≌△AEQ即可。理由是：

如图，∵Q为AB中点，∴AQ=BQ。

∵BF⊥CP，AE⊥CP，∴BF∥AE，∠BFQ=∠AEQ。

在△BFQ和△AEQ中，，∴△BFQ≌△AEQ（AAS）。∴QE=QF。

（2）证△FBQ≌△DAQ，推出QF=QD，根据直角三角形斜边上中线性质求出即可。

（3）证△AEQ≌△BDQ，推出DQ=QE，根据直角三角形斜边上中线性质求出即可。