Question

如图，AB是⊙O的直径，AF是⊙O切线，CD是垂直于AB的弦，垂足为E，过点C作DA的平行线与AF相交于点F，CD=，BE=2．

求证：（1）四边形FADC是菱形；

（2）FC是⊙O的切线．

Answer

证明：（1）连接OC，

∵AF是⊙O切线，∴AF⊥AB。

∵CD⊥AB，∴AF∥CD。

∵CF∥AD，∴四边形FADC是平行四边形。

∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB，

∴。

设OC=x，

∵BE=2，∴OE=x﹣2。

在Rt△OCE中，OC2=OE2+CE2，

∴，解得：x=4。

∴OA=OC=4，OE=2。∴AE=6。

在Rt△AED中，，∴AD=CD。

∴平行四边形FADC是菱形。

（2）连接OF，

∵四边形FADC是菱形，∴FA=FC。

在△AFO和△CFO中，∵，∴△AFO≌△CFO（SSS）。

∴∠FCO=∠FAO=90°，即OC⊥FC。

∵点C在⊙O上，∴FC是⊙O的切线。

【解析】

试题分析：（1）连接OC，由垂径定理，可求得CE的长，又由勾股定理，可求得半径OC的长，然后由勾股定理求得AD的长，即可得AD=CD，易证得四边形FADC是平行四边形，继而证得四边形FADC是菱形；

（2）连接OF，易证得△AFO≌△CFO，继而可证得FC是⊙O的切线。