Question

（2013年广东梅州11分）用如图①，②所示的两个直角三角形（部分边长及角的度数在图中已标出），完成以下两个探究问题：

探究一：将以上两个三角形如图③拼接（BC和ED重合），在BC边上有一动点P．

（1）当点P运动到∠CFB的角平分线上时，连接AP，求线段AP的长；

（2）当点P在运动的过程中出现PA=FC时，求∠PAB的度数．

探究二：如图④，将△DEF的顶点D放在△ABC的BC边上的中点处，并以点D为旋转中心旋转△DEF，使△DEF的两直角边与△ABC的两直角边分别交于M、N两点，连接MN．在旋转△DEF的过程中，△AMN的周长是否存在有最小值？若存在，求出它的最小值；若不存在，请说明理由．

Answer

【解析】
探究一：

（1）依题意画出图形，如答图1所示：

由题意，得∠CFB=60°，FP为角平分线，

则∠CFP=30°。

∴CF=BC•sin30°=3×=。

∴CP=CF•tan∠CFP=×=1。

过点A作AG⊥BC于点G，则AG=BC=，

∴PG=CG﹣CP=﹣1=。

在Rt△APG中，由勾股定理得：。

（2）由（1）可知，FC=．

如答图2所示，以点A为圆心，以FC=长为半径画弧，与BC交于点P1、P2，则AP1=AP2=。

过点A过AG⊥BC于点G，则AG=BC=，

在Rt△AGP1中，，∴∠P1AG=30°。

∴∠P1AB=45°﹣30°=15°。

同理求得，∠P2AG=30°，∠P2AB=45°+30°=75°。

∴∠PAB的度数为15°或75°。

探究二：△AMN的周长存在有最小值。

如答图3所示，连接AD，

图3

∵△ABC为等腰直角三角形，点D为斜边BC的中点，

∴AD=CD，∠C=∠MAD=45°。

∵∠EDF=90°，∠ADC=90°，∴∠MDA=∠NDC。

∵在△AMD与△CND中，，

∴△AMD≌△CND（ASA）。∴AM=CN。

设AM=x，则CN=x，，

在Rt△AMN中，由勾股定理得：

，

∴△AMN的周长为：AM+AN+MN=  。

当x=时，有最小值，最小值为。

∴△AMN周长的最小值为。

【解析】探究一：（1）如答图1所示，过点A作AG⊥BC于点G，构造Rt△APG，利用勾股定理求出AP的长度。

（2）如答图2所示，符合条件的点P有两个．解直角三角形，利用特殊角的三角函数值求出角的度数。

探究二：如答图3所示，证明△AMD≌△CND，得AM=CN，则△AMN两直角边长度之和为定值；设AM=x，求出斜边MN的表达式，利用二次函数的性质求出MN的最小值，从而得到△AMN周长的最小值。

考点：几何变换综合题，单动点和旋转问题，角平分线的性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，勾股定理，垂径定理，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，二次函数的性质。