Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边OA、OC分别在y轴和x轴的正半轴上，且长分别为m、4m（m＞0），D为边AB的中点，一抛物线l经过点A、D及点M（﹣1，﹣1﹣m）．

（1）求抛物线l的解析式（用含m的式子表示）；

（2）把△OAD沿直线OD折叠后点A落在点A′处，连接OA′并延长与线段BC的延长线交于点E，若抛物线l与线段CE相交，求实数m的取值范围；

（3）在满足（2）的条件下，求出抛物线l顶点P到达最高位置时的坐标．

Answer

【解析】
（1）设抛物线l的解析式为，

将A（0，m），D（2m，m），M（﹣1，﹣1﹣m）三点的坐标代入，得

，解得。

∴抛物线l的解析式为。

 （2）设AD与x轴交于点M，过点A′作A′N⊥x轴于点N，

∵把△OAD沿直线OD折叠后点A落在点A′处，

∴△OAD≌△OA′D，OA=OA′=m，AD=A′D=2m，∠OAD=∠OA′D=90°，∠ADO=∠A′DO。

∵矩形OABC中，AD∥OC，∴∠ADO=∠DOM。

∴∠A′DO=∠DOM。∴DM=OM。

设DM=OM=x，则A′M=2m﹣x，

在Rt△OA′M中，∵OA′2+A′M2=OM2，

∴，解得。

∵，∴。

∴。

∴A′点坐标为（，）。

易求直线OA′的解析式为，

当x=4m时，，∴E点坐标为（4m，）。

当x=4m时，，

∴抛物线l与直线CE的交点为（4m，）。

∵抛物线l与线段CE相交，∴。

∵m＞0，∴，解得。

（3）∵，

∴当x=m时，y有最大值。

又∵，

∴当时，随m的增大而增大。

∴当m=时，顶点P到达最高位置，。

∴此时抛物线l顶点P到达最高位置时的坐标为（，）

【解析】

试题分析：（1）设抛物线l的解析式为，将A、D、M三点的坐标代入，运用待定系数法即可求解。

（2）设AD与x轴交于点M，过点A′作A′N⊥x轴于点N．根据轴对称及平行线的性质得出DM=OM=x，则A′M=2m﹣x，OA′=m，在Rt△OA′M中运用勾股定理求出x，得出A′点坐标，运用待定系数法得到直线OA′的解析式，确定E点坐标（4m，﹣3m），根据抛物线l与线段CE相交，列出关于m的不等式组，求出解集即可。

（3）根据二次函数的性质，结合（2）中求出的实数m的取值范围，即可求解。