Question

如图（1），在Rt△ABC, ∠ACB=90°,分别以AB、BC为一边向外作正方形ABFG、BCED，连结AD、CF，AD与CF交于点M。

（1）求证：△ABD≌△FBC；

（2）如图（2），已知AD=6，求四边形AFDC的面积；

（3）在△ABC中，设BC＝a，AC＝b，AB＝c，当∠ACB≠90°时，c²≠a² ＋b²。在任意△ABC中，c²＝a² ＋b²＋k。就a＝3，b＝2的情形，探究k的取值范围（只需写出你得到的结论即可）。

Answer

【解析】
（1）证明：∵正方形ABFG、BCED，∴AB=FB，CB=DB，∠ABF=∠CBD=90°，

∴∠ABF＋∠ABC=∠CBD＋∠ABC，即∠ABD=∠CBF。

在△ABD与△FBC中，∵AB=FB，∠ABD=∠CBF，DB= CB，

∴△ABD≌△FBC（SAS）。

（2）由（1）△ABD≌△FBC得，AD=FC，∠BAD=∠BFC。

∴∠AMF=180°－∠BAD－∠CMA=180°－∠BFC－∠BMF=180°－90°=90°。∴AD⊥CF。

∵AD=6，∴FC= AD=6。

∴

。

（3）－12＜k＜12。

【解析】

试题分析：（1）根据正方形的性质易由SAS证明△ABD≌△FBC。

（2）由（1）△ABD≌△FBC证得AD=FC，∠BAD=∠BFC，进一步由三角形内角和定理证得AD⊥CF，从而根据求出答案。

（3）由a＝3，b＝2，c2＝a2 ＋b2＋k得c2＝13＋k，即，根据三角形三边关系，得 。