Question

已知抛物线y=x²-（a+b）x+，a，b，c分别是∠A、∠B、∠C的对边．
（1）求证：该抛物线与x轴必有两个交点；
（2）设抛物线与x轴的两个交点为P、Q，顶点为R，∠PQR=α，已知tanα=，△ABC的周长为10，求抛物线的解析式；
（3）设直线y=ax-bc与抛物线交于点E、F，与y轴交于点M，若抛物线的对称轴为x=a，O为坐标原点，S_△MOE：S_△MOF=5：1，试判断△ABC的形状，并证明你的结论．

Answer

（1）由a+b＞c得（a+b）2-c2＞0，进而得该二次函数有两个不同的根．即该二次函数与x轴有两个交点．
（2）利用周长的和为10，顶点的纵坐标比上抛物线与x轴的右边交点横坐标与顶点横坐标的差的值为正切值；解方程组求出（a+b）的值和c的值；代入解析式即可．
（3）求得a，b，c长度之间的关系，知道a=b=3，即可得三角形ABC为等腰三角形．
【解析】
（ 1）由二次函数的判别式△=（a+b）2=（a+b）2-c2
∵在三角形中a，b，c为三角形三边
∴a+b＞c
∴（a+b）2-c2＞0
∴该二次函数有两个不同的根．即该二次函数与x轴有两个交点．
（2）由题意a+b+c=10①
二次函数的顶点（）②
二次函数的根为x=③
由题意得：④
由以上①②③④解得c=4，c=5（不符舍去）
则a+b=6
所以二次函数式为：y=x2-6x+4．
（3）由题意x=a==3
∴b=3
∴y=3x-12
∴三角形为等腰三角形．