Question

记抛物线y=-x²+2012的图象与y正半轴的交点为A，将线段OA分成2012等份，设分点分别为P₁，P₂，…，P₂₀₁₁，过每个分点作y轴的垂线，分别与抛物线交于点Q₁，Q₂，…，Q₂₀₁₁，再记直角三角形OP₁Q₁，P₁P₂Q₂，…的面积分别为S₁，S₂，…，这样就记，W的值为（ ）

A．505766
B．505766.5
C．505765
D．505764

Answer

根据等分求出OP1=P1P2=P2P3=P3P4=…=P2010P2011=1，再利用抛物线解析式求出P1Q1，P2Q2，…，P2011Q2011的平方的值，利用三角形的面积表示出S1，S2，…，并平方后相加，然后根据等差数列求和公式进行计算即可得解．
【解析】
∵P1，P2，…，P2011将线段OA分成2012等份，
∴OP1=P1P2=P2P3=P3P4=…=P2010P2011=1，
∵过分点P1作y轴的垂线，与抛物线交于点Q1，
∴-x2+2012=1，
解得x2=2011，
∴S12=（×1×P1Q1）2=×2011，
同理可得S22=×2010，
S32=×2009，
…
S20112=×1，
∴w=S12+S22+S32+…+S20112
=×2011+×2010+×2009+…+×1
=×
=505766.5．