Question

如图，在Rt△ABC中，AB=3，BC=4，∠ABC=90°，过B作BA₁⊥AC，过A₁作A₁B₁⊥BC，得阴影Rt△A₁B₁B；再过B₁作B₁A₂⊥AC，过A₂作A₂B₂⊥BC，得阴影Rt△A₂B₂B₁；…如此下去，请猜测这样得到的所有阴影三角形的面积之和为（ ）

A．
B．
C．
D．

Answer

若逐一求阴影部分的面积此题会比较复杂，可从整体的角度来求解此题；易知所有白色部分的小直角三角形都与阴影部分的三角形相似，那么它们的面积比应该等于相似比的平方，它们的相似比为AB：A1B，AB的长已知，根据直角三角形面积的不同表示方法可求得A1B，由此求得阴影部分占△ABC面积的比例大小，从而可求得阴影部分的面积和．
【解析】
∵A1B1∥AB，
∴Rt△ABA1∽△BA1B1，同理可证：Rt△A1B1A2∽Rt△B1A2B2，…；
即白色部分的小直角三角形与阴影部分的小直角三角形逐一对应相似，
在Rt△ABC中，BA1⊥AC，
由S=AB•BC=AC•BA1，故BA1=，
∴AB：BA1=3：=5：4，
∴白色部分小直角三角形的面积和：阴影部分小直角三角形的面积和=AB2：BA12=25：16，
故S阴影=S△ABC=．
故选D．