Question

如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC为矩形，OA=3，OC=4，P为直线AB上一动点，将直线OP绕点P逆时针方向旋转90°交直线BC于点Q；
（1）当点P在线段AB上运动（不与A，B重合）时，求证：OA•BQ=AP•BP；
（2）在（1）成立的条件下，设点P的横坐标为m，线段L的长度为l，求出l关于m的函数解析式，并判断l是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）根据已知利用相似三角形的判定得到△AOP∽△BPQ，再根据相似三角形的对应边成比例即可得到OA•BQ=AP•BP；
（2）由第一问可求得BQ的值，从而求得l=3-，所以可得到当m=2时，l有最小值求出即可．
（1）证明：∵PO⊥PQ，
∴∠APO+∠BPQ=90°，
在Rt△AOP中，∠APO+∠AOP=90°，
∴∠BPQ=∠AOP，
又∵∠OAB=∠PBQ=90°，
∴△OAP∽△PBQ，
则=，
即OA•BQ=AP•BP．

（2）【解析】
∵OA•BQ=AP•BP，
即BQ=，
∴l=3-，
=（m2-4m+4）+，
=（m-2）2+，
∴当m=2时，l有最小值．