Question

如图，一次函数y=ax+b的图象与反比例函数y=的图象交于A，B两点，与x轴交于点C，与y轴交于点D，已知OA=，tan∠AOC=，点B的坐标为（m，-2）．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）求一次函数的解析式；
（3）在y轴上存在一点P，使得△PDC与△ODC相似，请你求出P点的坐标．

Answer

（1）中，因为OA=，tan∠AOC=，则可过A作AE垂直x轴，垂足为E，利用三角函数和勾股定理即可求出AE=1，OE=3，从而可知A（3，1），又因点A在反比例函数y=的图象上，由此可求出开k=3，从而求出反比例函数的解析式．
（2）中，因为一次函数y=ax+b的图象与反比例函数y=的图象交于A，B两点，点B的坐标为（m，-2）．所以3=-2x．
即m=-，B（-，-2）．然后把点A、B的坐标代入一次函数的解析式，得到关于a、b的方程组，解之即可求出a、b的值，最终写出一次函数的解析式．
（3）因为在y轴上存在一点P，使得△PDC与△ODC相似，而∠PDC和∠ODC是公共角，所以有△PDC∽△CDO，，而点C、D分别是一次函数y=x-1的图象与x轴、y轴的交点，因此有C（，0）、D（0，-1）．OC=，OD=1，DC=．
进而可求出PD=，OP=．写出点P的坐标．
【解析】
（1）过A作AE垂直x轴，垂足为E，
∵tan∠AOC=，
∴OE=3AE
∵OA=，OE2+AE2=10，
∴AE=1，OE=3
∴点A的坐标为（3，1）．
∵A点在双曲线上，
∴，
∴k=3．
∴双曲线的解析式为．

（2）∵点B（m，-2）在双曲线上，
∴-2=，
∴m=-．
∴点B的坐标为（-，-2）．
∴，∴
∴一次函数的解析式为y=x-1．

（3）过点C作CP⊥AB，交y轴于点P，
∵C，D两点在直线y=x-1上，
∴C，D的坐标分别是：C（，0），D（0，-1）．
即：OC=，OD=1，
∴DC=．
∵△PDC∽△CDO，
∴，
∴PD=
又OP=DP-OD=
∴P点坐标为（0，）．