Question

已知：如图，Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=30°，BC=6cm．点O从A点出发，沿AB以每秒cm的速度向B点方向运动，当点O运动了t秒（t＞0）时，以O点为圆心的圆与边AC相切于点D，与边AB相交于E、F两点．过E作EG⊥DE交射线BC于G．
（1）若E与B不重合，问t为何值时，△BEG与△DEG相似？
（2）问：当t在什么范围内时，点G在线段BC上当t在什么范围内时，点G在线段BC的延长线上？
（3）当点G在线段BC上（不包括端点B、C）时，求四边形CDEG的面积S（cm²）关于时间t（秒）的函数关系式，并问点O运动了几秒钟时，S取得最大值最大值为多少？

Answer

（1）连接OD，DF．那么OD⊥AC，则∠AOD=60°，∠AED=30°．由于∠DEG=90°，因此∠BEG=60°，因此本题可分两种情况进行讨论：
①当∠EDG=60°，∠DGE=30°时，∠BGD=∠BGE+∠EGD=60°．这样∠BGD和∠ACB相等，那么G和C重合．
②当∠DGE=60°时，可在直角△AOD中，根据∠A的度数和AO的长表示出AD的长，也就能表示出CD的长，由于∠A=∠AED=30°，那么AD=DE，可在直角△DEG中，用AD的长表示出DG，进而根据DG∥AB得出的关于CD，AD，DG，AB的比例关系式即可求出此时t的值．
（2）本题可先求出BG的表达式，然后令BG＞BC，即可得出G在BC延长线上时t的取值范围．
（3）由于四边形CGED不是规则的四边形，因此其面积可用△ABC的面积-△ADE的面积-△BEG的面积来求得．在前两问中已经求得AD，AE，BE，BG的表达式，那么就不难得出这三个三角形的面积．据此可求出S，t的函数关系式．根据函数的性质和自变量的取值范围即可求出S的最大值及对应的t的值．
【解析】
（1）连接OD，DF．
∵AC切⊙O于点D，
∴OD⊥AC．
在Rt△OAD中，∠A=30°，OA=t，
∴OD=OF=t，AD=OA•cosA=．
又∵∠FOD=90°-30°=60°，
∴∠AED=30°，∴AD=ED=．
∵DE⊥EG，
∴∠BEG=60°，
△BEG与△DEG相似．
∵∠B=∠GED=90°，
①当∠EGD=30°，
CE=2BE=2（6-t）则∠BGD=60°=∠ACB，此时G与C重合，

DE==AD，CD=12-，BE=6-t，
∵△BEG∽△DEC，
∴=，
∴=，
t=；
②当∠EGD=60°．
∴DG⊥BC，DG∥AB．
在Rt△DEG中，∠DEG=90°，DE=，
∴DG=t．
在Rt△ABC中，∠A=30°，BC=6，
∴AC=12，AB=6，
∴CD=12-．
∵DG∥AB，
∴解得t=．
答：当t为或时，△BEG与△EGD相似；

（2）∵AC切⊙O于点D，
∴OD⊥AC．
在Rt△OAD中，∠A=30°，OA=t，
∴∠AED=30°，∴DE⊥EG，
∴∠BEG=60°．
在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=30°，BC=6，
∴AB=6，BE=6-t．
Rt△BEG中，∠BEG=60°，
∴BG=BE•tan60°=18-t．
当0≤18-t≤6，即≤t≤4时，点G在线段BC上；
当18-t＞6，即0＜t＜时，点G在线段BC的延长线上；

（3）过点D作DM⊥AB于M．
在Rt△ADM中，∠A=30°，
∴DM=AD=t．
∴S=S△ABC-S△AED-S△BEG
=36-t2-27t
=-（t-）2+（＜t＜4）．
所以当t=时，s取得最大值，最大值为．