Question

已知抛物线y=3ax²+2bx+c，
（Ⅰ）若a=b=1，c=-1，求该抛物线与x轴公共点的坐标；
（Ⅱ）若a=b=1，且当-1＜x＜1时，抛物线与x轴有且只有一个公共点，求c的取值范围；
（Ⅲ）若此抛物线过点A（0，3），B（1，0），C（3，0），在此抛物线上有一点P，使它到BC的距离为，求P点坐标；
（Ⅳ）若a+b+c=0，且x₁=0时，对应的y₁＞0；x₂=1时，对应的y₂＞0，试判断当0＜x＜1时，抛物线与x轴是否有公共点？若有，请证明你的结论；若没有，阐述理由．

Answer

（Ⅰ）把a，b，c的值代入可得抛物线的解析式，求出两根即可；
（Ⅱ）把a，b代入解析式可得△=4-12c≥0，等于0时可直接求得c的值；求出y的相应的值后可得c的取值范围；
（Ⅲ）把点A（0，3），B（1，0），C（3，0）的坐标分别代入已知抛物线y=3ax2+2bx+c，求出a，b，c的值，进而得到抛物线的解析式，设与BC：y=-x+3平行的直线l为y=-x+b，可求得l到BC距离为的直线为y=-x+21或者为y=x-15，进而求出点P的坐标；         
（Ⅳ）抛物线y=3ax2+2bx+c与x轴公共点的个数就是一元二次方程3ax2+2bx+c=0的实数根的个数，因此，本题的解答就是研究在不同的条件下一元二次方程3ax2+2bx+c=0根的判别式的符号，依据判别式的符号得出相应的结论．
【解析】
（Ⅰ）当a=b=1，c=-1时，抛物线为y=3x2+2x-1，
方程3x2+2x-1=0的两个根为x1=-1，x2=，
∴该抛物线与x轴公共点的坐标是（-1，0）和（，0）；

（Ⅱ）当a=b=1时，抛物线为y=3x2+2x+c，且与x轴有公共点．
对于方程3x2+2x+c=0，判别式△=4-12c≥0，有c≤，
①当c=时，由方程3x2+2x+=0，解得．
此时抛物线为y=3x2+2x+=0与x轴只有一个公共点（-，0），
②当c＜时，x1=-1时，y1=3-2+c=1+c，x2=1时，y2=3+2+c=5+c．
由已知-1＜x＜1时，该抛物线与x轴有且只有一个公共点，考虑其对称轴为，
应有，即
解得-5＜c≤-1．
综上，c=或-5＜c≤-1．    

（Ⅲ）把点A（0，3），B（1，0），C（3，0）的坐标分别代入已知抛物线y=3ax2+2bx+c得：，
解得：，
∴二次函数的解析式为y=x2-4x+3，
设与BC：y=-x+3平行的直线l为y=-x+b，可求得l到BC距离为的直线为y=-x+21或者为y=x-15，
所以可求得点P坐标为：（-3，24）及（6，15）；
（Ⅳ）对于二次函数y=3ax2+2bx+c，
由已知x1=0时，y1=c＞0；x2=1时，y2=3a+2b+c＞0，
又a+b+c=0，∴3a+2b+c=（a+b+c）+2a+b=2a+b．
于是2a+b＞0．而b=-a-c，∴2a-a-c＞0，即a-c＞0．
∴a＞c＞0． 
∵关于x的一元二次方程3ax2+2bx+c=0的判别式△=4b2-12ac=4（a+c）2-12ac=4[（a-c）2+ac]＞0，
∴抛物线y=3ax2+2bx+c与x轴有两个公共点，顶点在x轴下方．
又该抛物线的对称轴，
由a+b+c=0，c＞0，2a+b＞0，
得-2a＜b＜-a，
∴．
又由已知x1=0时，y1＞0；x2=1时，y2＞0，观察图象，
可知在0＜x＜1范围内，该抛物线与x轴有两个公共点．