Question

已知：关于x的一元二次方程x²-2（m+1）x+2m+1=0
（1）求证：方程有两个实数根；
（2）设m＜0，且方程的两个实数根分别为x₁，x₂（其中x₁＜x₂），若y是关于m的函数，且y=，求这个函数的解析式；
（3）在（2）的条件下，利用函数图象求关于m的方程y+m-2=0的解．

Answer

（1）根据二次函数的根的判别式△=b2-4ac的符号来判断方程的根的情况；
（2）由（1）知原方程有两个实数根，所以根据求根公式和已知条件“m＜0，x1＜x2”求得x1、x2的值，并将其代入y=，求得这个函数的解析式；
（3）把（2）的条件下是y值代入y+m-2=0求解即可．
（1）证明：∵关于x的一元二次方程x2-2（m+1）x+2m+1=0的二次项系数a=1，一次项系数是b=-2（m+1），常数项c=2m+1，
∴△=b2-4ac=4（m+1）2-8m-4=4m2≥0，
∴方程x2-2（m+1）x+2m+1=0有两个实数根；

（2）∵原方程的根是：x==m+1±m，
又∵m＜0，方程的两个实数根分别为x1，x2（其中x1＜x2），
x1=2m+1，x2=1，
∴y===-，
即y=-；

（3）∵y=-；
∴由y+m-2=0，得
-+m-2=0，即m2-2m-3=0，
∴（m-3）（m+1）=0，
∴m-3=0或m+1=0，
∴m=3（舍去），或m=-1．
故方程的解是m=-1．