Question

某农场计划建一个养鸡场，为了节约材料，鸡场一边靠着原有的一堵墙（墙长为28米），另外的部分用竹篱笆围成．
（1）若用长为50米的竹篱笆围成面积为300米²的矩形养鸡场（如图1），设矩形的长为y米，宽为x米，求x和y的值；
（2）若用长为30米的竹篱笆围成矩形（如图1）或半圆形（如图2）养鸡场，设矩形的面积为S₁米²、长为y米、宽为x米，半圆形的面积为S₂米²、半径为r米，试比较S₁和S₂的大小．（取π≈3）

Answer

（1）根据长方形的养鸡场的宽为xm，则长为（50-2x）m，由题意列方程即可解答；
（2）根据题意，按照等量关系“矩形面积=长×宽”“半圆面积=π×半径”列出函数关系式，再求其最值．
【解析】
（1）设矩形的长为y米，宽为x米，
则xy=300，
∵2x+y=50，
∴y=50-2x，
∴x（50-2x）=300，
解得：x1=10，x2=15；
故x1=10，y1=30； x2=15，y2=20
根据墙长28米，y=30不符合题意（舍去），
∴x=15，y=20．

（2）由题意，得y+2x=30，S1=x•y，
∴Sl=x•（30-2x）=-2x2+30x．
又∵30=πr，
∴r=10．
∴S2=150．
又∵S1=-2x2+30x=-2（x2-15x）=-2（x-）2+．
当x=时，S1的最大值为，
＜150，
∴Sl＜S2．