Question

如图，梯形ABCD中，AD∥BC，BD平分∠ABC．
（1）若AB=DC=2，BC=4，求梯形的面积；
（2）若∠A=120°，BD=BC=4，求梯形的面积．

Answer

（1）过A作AE⊥BC，过D作DF⊥BC分别交BC于E，F两点，根据已知条件可证明AD=AB=CD，△AEB≌△DFC，因为三角形ABE和矩形AEFD的面积可求出，进而求出梯形的面积；
（2）过点B作BE⊥DA交DA的延长线于E，则分别构成两个直角三角形，Rt△BDE，Rt△ABE，利用直角三角形的性质求得ED，BE，AD，BD的长，再利用梯形的面积公式即可求得梯形的面积．
【解析】
（1）过A作AE⊥BC，过D作DF⊥BC分别交BC于E，F两点，
则四边形AEFD为矩形，
∴AE=DF，AD=EF，
∵AD∥BC，
∴∠ADB=∠DBC，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC，
∴∠ABD=∠ADB，
∴AB=AD=2，
∵AB=DC，AE=DF，
∴△ABE≌△DCF，
∴BE=CF=（BC-EF）=×（4-AD）=1，
∴AE==
∴S△ABE=×1×=，
∴梯形的面积=2S△ABE+S矩形AEFD=2×+2×=3；

（2）过点B作BE⊥DA交DA的延长线于E．
∵∠BAD=120°，
∴∠EAB=60°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠1=∠2．
∵AD∥BC，
∴∠3=∠2，
∴∠1=∠3=30°，
在Rt△BDE中，∵BD=4，
∴BE=BD=2，ED=BD×cos30°=6，
在Rt△BEA中，
∴AE=BE•cot60°=2×=2，
∴AD=ED-AE=6-2=4，
∴S梯形=（AD+BC）•EB=×（4+4）×2=4+12．