Question

如图1，⊙O中AB是直径，C是⊙O上一点，∠ABC=45°，等腰直角三角形DCE中∠DCE是直角，点D在线段AC上．
（1）证明：B、C、E三点共线；
（2）若M是线段BE的中点，N是线段AD的中点，证明：MN=OM；
（3）将△DCE绕点C逆时针旋转α（0°＜α＜90°）后，记为△D₁CE₁（图2），若M₁是线段BE₁的中点，N₁是线段AD₁的中点，M₁N₁=OM₁是否成立？若是，请证明；若不是，说明理由．

Answer

（1）根据直径所对的圆周角为直角得到∠BCA=90°，∠DCE是直角，即可得到∠BCA+∠DCE=90°+90°=180°；
（2）连接BD，AE，ON，延长BD交AE于F，先证明Rt△BCD≌Rt△ACE，得到BD=AE，∠EBD=∠CAE，则∠CAE+∠ADF=∠CBD+∠BDC=90°，即BD⊥AE，再利用三角形的中位线的性质得到ON=BD，OM=AE，ON∥BD，AE∥OM，于是有ON=OM，ON⊥OM，即△ONM为等腰直角三角形，即可得到结论；
（3）证明的方法和（2）一样．
（1）证明：∵AB是直径，
∴∠BCA=90°，
而等腰直角三角形DCE中∠DCE是直角，
∴∠BCA+∠DCE=90°+90°=180°，
∴B、C、E三点共线；

（2）连接BD，AE，ON，延长BD交AE于F，如图1，
∵CB=CA，CD=CE，
∴Rt△BCD≌Rt△ACE，
∴BD=AE，∠EBD=∠CAE，
∴∠CAE+∠ADF=∠CBD+∠BDC=90°，即BF⊥AE，
又∵M是线段BE的中点，N是线段AD的中点，而O为AB的中点，
∴ON=BD，OM=AE，ON∥BD，AE∥OM；
∴ON=OM，ON⊥OM，即△ONM为等腰直角三角形，
∴MN=OM；

（3）成立．
理由如下：如图2，连接BD1，AE1，ON1，
∵∠ACB-∠ACD1=∠D1CE1-∠ACD1，
∴∠BCD1=∠ACE1，
又∵CB=CA，CD1=CE1，
∴△BCD1≌△ACE1，
与（2）同理可证BD1⊥AE1，△ON1M1为等腰直角三角形，
从而有M1N1=OM1．