Question

如图，抛物线y=x²-2x-3与x轴交A、B两点（A点在B点左侧），与y轴交于点D．
（1）求点A、B、D的坐标；
（2）若点C在该抛物线上，使△ABD≌△BAC．求点C的坐标，及直线AC的函数表达式；
（3）P是（2）中线段AC上的一个动点，过P点作y轴的平行线交抛物线于E点，求线段PE长度的最大值．

Answer

（1）抛物线的解析式中，令y=0，可求得A、B的坐标，令x=0，可求得点D的坐标．
（2）若△ABD≌△BAC，则C、D必关于抛物线的对称轴对此，由此可得C点的坐标；进而可利用待定系数法求得直线AC的函数解析式．
（3）设出点P的横坐标，根据直线AC和抛物线的解析式，即可表示出P、E的纵坐标，从而得到关于PE的长和P点横坐标的函数关系式，根据所得函数的性质即可得到PE的最大长度及对应的P点坐标．
【解析】
（1）令y=0，
解得x1=-1或x2=3，（1分）
∴A的坐标为：A（-1，0），B的坐标为：B（3，0），（2分）
令x=0，解得y=-3；
∴D的坐标为：D（0，-3）．（3分）

（2）根据抛物线的对称性可得C的坐标为：（2，-3），（5分）
设AC的解析式为：y=kx+b，
将A（-1，0），C（2，-3）代入可求得k=-1，b=-1；
∴直线AC的函数解析式是y=-x-1．（8分）

（3）设P点的横坐标为x（-1≤x≤2），（注：x的范围不写不扣分）
则P、E的坐标分别为：P（x，-x-1），（9分）
E（x，x2-2x-3）；（10分）
∵P点在E点的上方，PE=-x-1-（x2-2x-3）=-x2+x+2=-（x-）2+；（12分）
∴当x=时，PE的最大值=．（14分）