Question

如图，在△ABC中，BE是它的角平分线，∠C=90°，D在AB边上，以DB为直径的半圆O经过点E，交BC于点F．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）已知sinA=，⊙O的半径为4，求图中阴影部分的面积．

Answer

（1）连接OE．根据OB=OE得到∠OBE=∠OEB，然后再根据BE是△ABC的角平分线得到∠OEB=∠EBC，从而判定OE∥BC，最后根据∠C=90°得到∠AEO=∠C=90°证得结论AC是⊙O的切线．
（2）连接OF，利用S阴影部分=S梯形OECF-S扇形EOF求解即可．
【解析】
（1）连接OE．
∵OB=OE
∴∠OBE=∠OEB                                       
∵BE是△ABC的角平分线
∴∠OBE=∠EBC
∴∠OEB=∠EBC
∴OE∥BC                                             
∵∠C=90°
∴∠AEO=∠C=90°                                      
∴AC是⊙O的切线；

（2）连接OF．
∵sinA=，∴∠A=30°                               
∵⊙O的半径为4，∴AO=2OE=8，
∴AE=4，∠AOE=60°，∴AB=12，
∴BC=AB=6   AC=6，
∴CE=AC-AE=2．
∵OB=OF，∠ABC=60°，
∴△OBF是正三角形．
∴∠FOB=60°，CF=6-4=2，∴∠EOF=60°．
∴S梯形OECF=（2+4）×2=6．
 S扇形EOF==                     
∴S阴影部分=S梯形OECF-S扇形EOF=6-．