Question

如图，AB为⊙O的直径，AC为⊙O的弦，AD平分∠BAC，交⊙O于点D，DE⊥AC，交AC的延长线于点E．
（1）判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若AE=8，⊙O的半径为5，求DE的长．

Answer

（1）直线DE与圆O相切，理由为：连接OD，由AD为角平分线得到一对角相等，再由OA=OD，根据等边对等角得到一对角相等，等量代换可得出一对内错角相等，根据内错角相等两直线平行得出OD平行于AE，由∠AED为直角，得到∠ODE为直角，即DE垂直于OD，可得出DE为圆O的切线；
（2）法1：过D作DF垂直于AB，交AB于点F，又AE垂直于ED，得到一对直角相等，再由AD为角平分线得到一对角相等，且AD为公共边，利用AAS三角形ADE与三角形ADF全等，根据全等三角形的对应边相等可得出AE=AF，DE=DF，由AF-OA求出OF的长，在直角三角形PDF中，由OD及OF的长，利用勾股定理求出DF的长，即为DE的长；
法2：连接DB，由AB为圆O的直径，根据直径所对的角为直角得到一个直角，再由AE垂直于ED得到两一个直角，两直角相等，再加上AD为角平分线得到一对角相等，利用两对对应角相等的两数三角形相似可得出三角形AED与三角形ABD相似，由相似得比例，将AE及AB的长代入求出AD的长，在直角三角形ADE中，由AD及AE的长，利用勾股定理即可求出DE的长；
法3：过O作OF垂直于AD，根据垂径定理得到F为AD的中点，且得到一个角为直角，再由DE垂直于AE得到另一个角为直角，进而得到两直角相等，再由AD为角平分线得到的一对角相等，利用两对对应角相等的两三角形相似可得出三角形AED与三角形AOF相似，根据相似得比例，将AE及OA的长代入，得到关于AD的方程，求出方程的解得到AD的长，在直角三角形AED中，由AE及AD的长，利用勾股定理即可求出ED的长．
【解析】
（1）直线DE与⊙O相切，理由如下：
连接OD，如图所示：

∵AD平分∠BAC，
∴∠EAD=∠OAD，
∵OA=OD，
∴∠ODA=∠OAD，
∴∠ODA=∠EAD，
∴EA∥OD，
∵DE⊥EA，
∴DE⊥OD，
又∵点D在⊙O上，
∴直线DE与⊙O相切；

（2）法1：如图，作DF⊥AB，垂足为F，

∴∠DFA=∠DEA=90°，
∵AD为角平分线，
∴∠EAD=∠FAD，
在△EAD和△FAD中，
∵，
∴△EAD≌△FAD（AAS），又AE=8，
∴AF=AE=8，DF=DE，
∵OA=OD=5，
∴OF=AF-OA=8-5=3，
在Rt△DOF中，OD=5，OF=3，
根据勾股定理得：DF==4，
则DE=DF=4；
法2：如图，连接DB，

∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，又∠AED=90°，
∴∠ADB=∠AED，又∠EAD=∠DAB，
∴△EAD∽△DAB，又AE=8，BA=2OA=10，
∴=，即=，
解得：DA=4，
在Rt△ADE中，AE=8，AD=4，
DE==4；
法3：如图，作OF⊥AD，垂足为F，

∴AF=AD，∠AFO=∠AED=90°，
∵∠EAD=∠FAO，
∴△EAD∽△FAO，
∴=，又AE=8，OA=5，AF=AD，
∴=，
解得：DA=4，
在Rt△ADE中，AE=8，AD=4，
根据勾股定理得：DE==4．