Question

如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，动点P从点A开始沿边AC向点C以1个单位长度的速度运动，动点Q从点C开始沿边CB向点B以每秒2个单位长度的速度运动，过点P作PD∥BC，交AB于点D，连接PQ分别从点A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t秒（t≥0）．
（1）直接用含t的代数式分别表示：QB=______，PD=______．
（2）是否存在t的值，使四边形PDBQ为菱形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．并探究如何改变Q的速度（匀速运动），使四边形PDBQ在某一时刻为菱形，求点Q的速度；
（3）如图2，在整个运动过程中，求出线段PQ中点M所经过的路径长．

Answer

（1）根据题意得：CQ=2t，PA=t，由Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，PD∥BC，即可得tanA==，则可求得QB与PD的值；
（2）易得△APD∽△ACB，即可求得AD与BD的长，由BQ∥DP，可得当BQ=DP时，四边形PDBQ是平行四边形，即可求得此时DP与BD的长，由DP≠BD，可判定▱PDBQ不能为菱形；然后设点Q的速度为每秒v个单位长度，由要使四边形PDBQ为菱形，则PD=BD=BQ，列方程即可求得答案；
（3）设E是AC的中点，连接ME．当t=4时，点Q与点B重合，运动停止．设此时PQ的中点为F，连接EF，由△PMN∽△PQC．利用相似三角形的对应边成比例，即可求得答案．
【解析】
（1）根据题意得：CQ=2t，PA=t，
∴QB=8-2t，
∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，PD∥BC，
∴∠APD=90°，
∴tanA==，
∴PD=t．
故答案为：（1）8-2t，t．

（2）不存在
在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，
∴AB=10
∵PD∥BC，
∴△APD∽△ACB，
∴，即，
∴AD=t，
∴BD=AB-AD=10-t，
∵BQ∥DP，
∴当BQ=DP时，四边形PDBQ是平行四边形，
即8-2t=，解得：t=．
当t=时，PD==，BD=10-×=6，
∴DP≠BD，
∴▱PDBQ不能为菱形．
设点Q的速度为每秒v个单位长度，
则BQ=8-vt，PD=t，BD=10-t，
要使四边形PDBQ为菱形，则PD=BD=BQ，
当PD=BD时，即t=10-t，解得：t=
当PD=BQ，t=时，即=8-，解得：v=
当点Q的速度为每秒个单位长度时，经过秒，四边形PDBQ是菱形．

（3）如图2，以C为原点，以AC所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系．
依题意，可知0≤t≤4，当t=0时，点M1的坐标为（3，0），当t=4时点M2的坐标为（1，4）．
设直线M1M2的解析式为y=kx+b，
∴，
解得，
∴直线M1M2的解析式为y=-2x+6．
∵点Q（0，2t），P（6-t，0）
∴在运动过程中，线段PQ中点M3的坐标（，t）．
把x=代入y=-2x+6得y=-2×+6=t，
∴点M3在直线M1M2上．
过点M2作M2N⊥x轴于点N，则M2N=4，M1N=2．
∴M1M2=2
∴线段PQ中点M所经过的路径长为2单位长度．