Question

如图1，已知抛物线y=ax²+bx（a≠0）经过A（3，0）、B（4，4）两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）将直线OB向下平移m个单位长度后，得到的直线与抛物线只有一个公共点D，求m的值及点D的坐标；
（3）如图2，若点N在抛物线上，且∠NBO=∠ABO，则在（2）的条件下，求出所有满足△POD∽△NOB的点P坐标（点P、O、D分别与点N、O、B对应）．

Answer

（1）利用待定系数法求出二次函数解析式即可；
（2）根据已知条件可求出OB的解析式为y=x，则向下平移m个单位长度后的解析式为：y=x-m．由于抛物线与直线只有一个公共点，意味着联立解析式后得到的一元二次方程，其根的判别式等于0，由此可求出m的值和D点坐标；
（3）综合利用几何变换和相似关系求解．
方法一：翻折变换，将△NOB沿x轴翻折；
方法二：旋转变换，将△NOB绕原点顺时针旋转90°．
特别注意求出P点坐标之后，该点关于直线y=-x的对称点也满足题意，即满足题意的P点有两个，避免漏解．
【解析】
（1）∵抛物线y=ax2+bx（a≠0）经过A（3，0）、B（4，4）
∴将A与B两点坐标代入得：，解得：，
∴抛物线的解析式是y=x2-3x．

（2）设直线OB的解析式为y=k1x，由点B（4，4），
得：4=4k1，解得：k1=1
∴直线OB的解析式为y=x，
∴直线OB向下平移m个单位长度后的解析式为：y=x-m，
∵点D在抛物线y=x2-3x上，
∴可设D（x，x2-3x），
又∵点D在直线y=x-m上，
∴x2-3x=x-m，即x2-4x+m=0，
∵抛物线与直线只有一个公共点，
∴△=16-4m=0，
解得：m=4，
此时x1=x2=2，y=x2-3x=-2，
∴D点的坐标为（2，-2）．

（3）∵直线OB的解析式为y=x，且A（3，0），
∴点A关于直线OB的对称点A′的坐标是（0，3），
根据轴对称性质和三线合一性质得出∠A′BO=∠ABO，
设直线A′B的解析式为y=k2x+3，过点（4，4），
∴4k2+3=4，解得：k2=，
∴直线A′B的解析式是y=，
∵∠NBO=∠ABO，∠A′BO=∠ABO，
∴BA′和BN重合，
即点N在直线A′B上，
∴设点N（n，），又点N在抛物线y=x2-3x上，
∴=n2-3n，
解得：n1=-，n2=4（不合题意，舍去）
∴N点的坐标为（-，）．

方法一：
如图1，将△NOB沿x轴翻折，得到△N1OB1，
则N1（，），B1（4，-4），
∴O、D、B1都在直线y=-x上．
∵△P1OD∽△NOB，△NOB≌△N1OB1，
∴△P1OD∽△N1OB1，
∴，
∴点P1的坐标为（，）．
将△OP1D沿直线y=-x翻折，可得另一个满足条件的点P2（，），
综上所述，点P的坐标是（，）或（，）．

方法二：
如图2，将△NOB绕原点顺时针旋转90°，得到△N2OB2，
则N2（，），B2（4，-4），
∴O、D、B1都在直线y=-x上．
∵△P1OD∽△NOB，△NOB≌△N2OB2，
∴△P1OD∽△N2OB2，
∴，
∴点P1的坐标为（，）．
将△OP1D沿直线y=-x翻折，可得另一个满足条件的点P2（，），
综上所述，点P的坐标是（，）或（，）．