Question

如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD相交于点O，AD=2，BC=BD=3，AC=4．
（1）求证：AC⊥BD；
（2）求△AOB的面积．

Answer

（1）首先过点D作DK∥AC交BC的延长线于K，易得四边形ACKD是平行四边形，根据平行四边形的对边相等，易求得BD2+DK2=BK2，即可得△BDK是直角三角形，∠BDK=90°，继而证得AC⊥BD；
（2）由AD∥BC，易得△AOD∽COB，根据相似三角形的对应边成比例，易求得OA，OB的值，继而求得△AOB的面积．
（1）证明：过点D作DK∥AC交BC的延长线于K，
∵AD∥BC，
∴四边形ACKD是平行四边形，
∵AD=2，BC=BD=3，AC=4，
∴CK=AD=2，DK=AC=4，DK∥AC，
∴BK=BC+CK=5，
∴BD2+DK2=BK2，
∴△BDK是直角三角形，∠BDK=90°，
即DK⊥BD，
∴AC⊥BD；

（2）【解析】
∵AD∥BC，
∴△AOD∽△COB，
∴，
∴OA=AC=×4=，OB=BD=×3=，
∴S△AOB=OA•OB=××=．