Question

如图，点A在x轴上，OA=4，将线段OA绕点O顺时针旋转120°至OB的位置．
（1）求点B的坐标；
（2）求经过点A、O、B的抛物线的解析式；
（3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点P，使得以点P、O、B为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由．

Answer

（1）首先根据OA的旋转条件确定B点位置，然后过B做x轴的垂线，通过构建直角三角形和OB的长（即OA长）确定B点的坐标．
（2）已知O、A、B三点坐标，利用待定系数法求出抛物线的解析式．
（3）根据（2）的抛物线解析式，可得到抛物线的对称轴，然后先设出P点的坐标，而O、B坐标已知，可先表示出△OPB三边的边长表达式，然后分①OP=OB、②OP=BP、③OB=BP三种情况分类讨论，然后分辨是否存在符合条件的P点．
【解析】
（1）如图，过B点作BC⊥x轴，垂足为C，则∠BCO=90°，
∵∠AOB=120°，
∴∠BOC=60°，
又∵OA=OB=4，
∴OC=OB=×4=2，BC=OB•sin60°=4×=2，
∴点B的坐标为（-2，-2）；

（2）∵抛物线过原点O和点A、B，
∴可设抛物线解析式为y=ax2+bx，
将A（4，0），B（-2．-2）代入，得
，
解得，
∴此抛物线的解析式为y=-x2+x

（3）存在，
如图，抛物线的对称轴是直线x=2，直线x=2与x轴的交点为D，设点P的坐标为（2，y），
①若OB=OP，
则22+|y|2=42，
解得y=±2，
当y=2时，在Rt△POD中，∠PDO=90°，sin∠POD==，
∴∠POD=60°，
∴∠POB=∠POD+∠AOB=60°+120°=180°，
即P、O、B三点在同一直线上，
∴y=2不符合题意，舍去，
∴点P的坐标为（2，-2）
②若OB=PB，则42+|y+2|2=42，
解得y=-2，
故点P的坐标为（2，-2），
③若OP=BP，则22+|y|2=42+|y+2|2，
解得y=-2，
故点P的坐标为（2，-2），
综上所述，符合条件的点P只有一个，其坐标为（2，-2），