Question

如图，在四边形ABCD中，点E是线段AD上的任意一点（E与A、D不重合），G、F、H分别是BE、BC、CE的中点．
（1）证明：四边形EGFH是平行四边形；
（2）EF和BC满足什么关系时，平行四边形EGFH是正方形？

Answer

（1）根据中位线定理可得出GF∥EH，GE∥HF，GF=GE，从而可判断出四边形EGFH的形状．
（2）连接EF，则根据等腰直角三角形斜边中线的性质可判断出EF与BC的关系．
（本题满分9分）
证明：（1）∵G、F分别是BE、BC的中点，
∴GF∥EC，
同理FH∥BE．
∴四边形EGFH是平行四边形；

（2）EF和BC满足关系：且EF⊥BC时，平行四边形EGFH是正方形，
证明：连接EF，GH．
∵G、H分别是BE，CE的中点，
∴GH∥BC．
∵EF⊥BC，
∴EF⊥GH．
∴四边形EGFH是菱形，
∵EF=BC，GH=BC，
∴EF=GH．
∴平行四边形EGFH是正方形．