Question

如图，在平面直角坐标系中，点A、B分别在x轴、y轴上，线段OA、OB的长（0A＜OB）是方程x²-18x+72=0的两个根，点C是线段AB的中点，点D在线段OC上，OD=2CD．
（1）求点C的坐标；
（2）求直线AD的解析式；
（3）P是直线AD上的点，在平面内是否存在点Q，使以0、A、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）因为点A、B分别在x轴、y轴上，线段OA、OB的长（0A＜OB）是方程x2-18x+72=0的两个根，所以解这个方程即可得到OA=6，OB=12．又因点C是线段AB的中点，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可知OC=AC．可作CE⊥x轴于点E，利用等腰三角形的三线合一可得，OE=OA=3，所以CE是三角形的中位线，CE=OB=6．得出点C的坐标；
（2）要求直线AD的解析式，需求出D的坐标．可作DF⊥x轴于点F，因为CE⊥x轴，所以可得△OFD∽△OEC，=，于是可求得OF=2，DF=4，从而求得点D的坐标．设直线AD的解析式为y=kx+b，把A、D的坐标代入，利用方程组即可求解；
（3）由（2）中D的坐标可知，DA=AF=4，所以∠OAD=45°，因为以O、A、P、Q为顶点的四边形是菱形，所以需分情况讨论：
若P在x轴上方，OAPQ是菱形，则PQ∥OA，PQ=OA=6=AP．过P作PM⊥x轴，因为∠OAD=45°，利用三角函数可求出PM=AM=3，OM=6-3，即P（6-3，3），得出Q的横坐标为6-3-6=-3，Q1（-3，3）；若P在x轴下方，OAPQ是菱形，则PQ∥OA，PQ=OA=6=AP．过P作PM⊥x轴，因为∠MAP=∠OAD=45°，利用三角函数可求出PM=AM=3，OM=6+3，即P（6+3，-3），得出Q的横坐标为6+3-6=3，Q2（3，-3）；若Q在x轴上方，OAQP是菱形，则∠OAQ=2∠OAD=90°，所以此时OAQP是正方形．又因正方形边长为6，所以此时Q（6，6）；若Q在x轴下方，OPAQ是菱形，则∠PAQ=2∠OAD=90°，所以此时OPAQ是正方形．又因正方形对角线为6，由正方形的对称性可得Q（3，-3）．
【解析】
（1）方程x2-18x+72=0，因式分解得：（x-6）（x-12）=0，
解得：x1=6，x2=12，即OA=6，OB=12，
在直角三角形OAB中，点C是斜边AB的中点，
∴OC=AC=AB．
作CE⊥x轴于点E．则CE∥OB，点C为中点，
∴E为OA的中点，CE为△OAB的中位线，
∴OE=OA=3，CE=OB=6．
∴点C的坐标为（3，6）；

（2）作DF⊥x轴于点F．
△OFD∽△OEC，=，于是可求得OF=2，DF=4．
∴点D的坐标为（2，4）．
设直线AD的解析式为y=kx+b．
把A（6，0），D（2，4）代入得
解得
∴直线AD的解析式为y=-x+6；

（3）存在．如图：分为P在x轴上方和P在x轴下方两种情况，
Q1（-3，3）；（1分）
Q2（3，-3）；（1分）
Q3（3，-3）；（1分）
Q4（6，6）．