Question

已知关于x的一元二次方程（x-m）²+6x=4m-3有实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）设方程的两实根分别为x₁与x₂，求代数式x₁•x₂-x₁²-x₂²的最大值．

Answer

（1）将原方程转化为关于x的一元二次方程，由于方程有实数根，故根的判别式大于等于0，据此列不等式解答即可；
（2）将x1•x2-x12-x22化为两根之积与两根之和的形式，将含m的代数式代入求值即可．
【解析】
（1）由（x-m）2+6x=4m-3，得x2+（6-2m）x+m2-4m+3=0．…（1分）
∴△=b2-4ac=（6-2m）2-4×1×（m2-4m+3）=-8m+24．…（3分）
∵方程有实数根，
∴-8m+24≥0．解得 m≤3．
∴m的取值范围是m≤3．…（4分）

（2）∵方程的两实根分别为x1与x2，由根与系数的关系，得
∴x1+x2=2m-6，，…（5分）
∴
=3（m2-4m+3）-（2m-6）2
=-m2+12m-27
=-（m-6）2+9…（7分）
∵m≤3，且当m＜6时，-（m-6）2+9的值随m的增大而增大，
∴当m=3时，的值最大，最大值为-（3-6）2+9=0．
∴的最大值是0．…（10分）