Question

在△ABC中，∠ABC=45°，tan∠ACB=．如图，把△ABC的一边BC放置在x轴上，有OB=14，OC=，AC与y轴交于点E．

（1）求AC所在直线的函数解析式；
（2）过点O作OG⊥AC，垂足为G，求△OEG的面积；
（3）已知点F（10，0），在△ABC的边上取两点P，Q，是否存在以O，P，Q为顶点的三角形与△OFP全等，且这两个三角形在OP的异侧？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）根据三角函数求E点坐标，运用待定系数法求解；
（2）在Rt△OGE中，运用三角函数和勾股定理求EG，OG的长度，再计算面积；
（3）分两种情况讨论求【解析】
①点Q在AC上；②点Q在AB上③当Q在BC边上时．求直线OP与直线AC的交点坐标即可．
【解析】
（1）在Rt△OCE中，OE=OCtan∠OCE==，∴点E（0，2）．
设直线AC的函数解析式为y=kx+，有，解得：k=．
∴直线AC的函数解析式为y=．
（2）在Rt△OGE中，tan∠EOG=tan∠OCE==，
设EG=3t，OG=5t，OE==t，∴，得t=2，
故EG=6，OG=10，
∴S△OEG=．
（3）存在．
①当点Q在AC上时，点Q即为点G，
如图1，作∠FOQ的角平分线交CE于点P1，

由△OP1F≌△OP1Q，则有P1F⊥x轴，由于点P1在直线AC上，当x=10时，
y=-=，
∴点P1（10，）．
②当点Q在AB上时，
如图2，有OQ=OF，作∠FOQ的角平分线交CE于点P2，

过点Q作QH⊥OB于点H，设OH=a，
则BH=QH=14-a，
在Rt△OQH中，a2+（14-a）2=100，
解得：a1=6，a2=8，
∴Q（-6，8）或Q（-8，6）．
连接QF交OP2于点M．
当Q（-6，8）时，则点M（2，4）．
当Q（-8，6）时，则点M（1，3）．
设直线OP2的解析式为y=kx，则
2k=4，k=2．
∴y=2x．
解方程组，得．
∴P2（）；
当Q（-8，6）时，则点M（1，3），
同理可求P3（）；

如备用图4，由QP4∥OF，QP4=OF=10，
设点P4的横坐标为x，则点Q的横坐标为（x-10），
∵yQ=yP，直线AB的函数解析式为：y=x+14，
∴x-10+14=-x+2，
解得：x=，可得y=，
∴点P4（，），
当Q在BC边上时，如图5，

③当Q在BC边上时，如图5，OQ=OF=10，点P5在E点，
∴P5（0，2），
综上所述，满足条件的P点坐标为（10，）或（）或（）或（0，2），（，）．