Question

如图1，在△ABC中，D、E、F分别为三边的中点，G点在边AB上，△BDG与四边形ACDG的周长相等，设BC=a、AC=b、AB=c．
（1）求线段BG的长；
（2）求证：DG平分∠EDF；
（3）连接CG，如图2，若△BDG与△DFG相似，求证：BG⊥CG．

Answer

（1）由△BDG与四边形ACDG的周长相等与BD=CD，易得BG=AC+AG，即可得BG=BG=（AB+AC）；
（2）由点D、F分别是BC、AB的中点，利用三角形中位线的性质，易得DF=AC=b，由FG=BG-BF，求得DF=FG，又由DE∥AB，即可求得∠FDG=∠EDG；
（3）由△BDG与△DFG相似，∠DFG＞∠B，∠BGD=∠DGF（公共角），可得∠B=∠FDG，又由（2）得：∠FGD=∠FDG，易证得DG=BD=CD，可得B、G、C三点在以BC为直径的圆周上，由圆周角定理，即可得BG⊥CG．
（1）【解析】
∵△BDG与四边形ACDG的周长相等，
∴BD+BG+DG=AC+CD+DG+AG，
∵D是BC的中点，
∴BD=CD，
∴BG=AC+AG，
∵BG+（AC+AG）=AB+AC，
∴BG=（AB+AC）=（b+c）；

（2）证明：∵点D、F分别是BC、AB的中点，
∴DF=AC=b，BF=AB=c，
又∵FG=BG-BF=（b+c）-c=b，
∴DF=FG，
∴∠FDG=∠FGD，
∵点D、E分别是BC、AC的中点，
∴DE∥AB，
∴∠EDG=∠FGD，
∴∠FDG=∠EDG，
即DG平分∠EDF；

（3）证明：∵△BDG与△DFG相似，∠DFG＞∠B，∠BGD=∠DGF（公共角），
∴∠B=∠FDG，
由（2）得：∠FGD=∠FDG，
∴∠FGD=∠B，
∴DG=BD，
∵BD=CD，
∴DG=BD=CD，
∴B、G、C三点在以BC为直径的圆周上，
∴∠BGC=90°，
即BG⊥CG．