Question

顶点在矩形边上的菱形叫做矩形的内接菱形．如图，矩形ABCD中，已知：AB=a，BC=b（a＜b），（1）、（2）、（3）是三种不同内接菱形的方式．
①图（1）中，若AH=BG=AB，则四边形ABGH是矩形ABCD的内接菱形；
②图（2）中，若点E、F、G和H分别是AB、BC、CD和DE的中点，则四边形EFGH是矩形ABCD的内接菱形；
③图（3）中，若EF垂直平分对角线AC，交BC于点E，交AD于点F，交AC于点O，则四边形AECF是矩形ABCD的内接菱形．
（1）请你从①，②，③三个命题中选择一个进行证明；
（2）在图（1）、（2）、（3）中，证明图（3）中菱形AECF是这三个不同的矩形ABCD的内接菱形面积最大的；
（3）比较（1）、（2）中矩形ABCD的内接菱形ABGH与EFGH的面积大小；
（4）在矩形ABCD中，你还能画出第4种矩形内接菱形吗？若能，请在（4）中画出；若不能，则说明理由．

Answer

（1）①先证明是平行四边形，再根据一组邻边相等证明，
②根据三角形中位线定理得到四条边都相等，
③先根据三角形全等证明是平行四边形，再根据对角线互相垂直证明是菱形；
（2）分别表示出三个菱形的面积，根据边的关系即可得出图（1）图（2）的面积都小于图（3）的面积；
（3）根据a与b的大小关系，分a＞2b，a=2b和a＜2b三种情况讨论；
（4）先作一条对角线，在作出它的垂直平分线分别与矩形的边相交，连接四个交点即可．
【解析】
（1）①∵AH=BG，AH∥BG，
∴四边形ABGH是平行四边形，
又∵BG=AB，∴平行四边形ABGH是菱形，
即四边形ABGH是矩形ABCD的内接菱形；（2分）
②连接AC、BD，则EF=AC，EF∥AC；GH=AC，GH∥AC
∴EF=GH，EF∥GH，
∴四边形EFGH是平行四边形，
又∵BD=AC，
∴平行四边形EFGH是菱形，
即四边形EFGH是矩形ABCD的内接菱形；（3分）
③∵∠OAF=∠OCE，OA=OC，∠AOF=∠COE，
∴△AOF≌△COE，
∴四边形AECF是平行四边形，
又∵EF垂直平分对角线AC，
∴FA=FC
∴平行四边形AECF是菱形，
即四边形AECF是矩形ABCD的内接菱形．（4分）

（2）∵S菱形ABGH=a2＜a•AE=S菱形AECF
S菱形EFGH=EG•FH＜AC•FE=S菱形AECF，
∴图（3）中菱形AECF是这三个不同的矩形ABCD的内接菱形面积最大的．（7分）

（3）∵S菱形ABGH=a2，S菱形EFGH=EG•FH=ab
当ab时，S菱形ABGH＞S菱形EFGH；
当a=b时，S菱形ABGH=S菱形EFGH；
当ab时，S菱形ABGH＜S菱形EFGH．（9分）

（4）在矩形ABCD中，还能画出第4种矩形内接菱形
（答案不唯一）．如图，AH=CF，EG垂直平分对角线FH．（10分）